Erőtan I. - 2.3.1

Feladat

1. Tegyük fel, hogy egy műbolygó a földfelszín felett $\setbox0\hbox{$H=1000 \,\mathrm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban kering a Föld körül. Mekkora sebességgel keringene, ha csak a Föld vonzóereje hatna rá?

Megoldás

1. A műbolygó pályájának sugara $\setbox0\hbox{$R=R_{0}+H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$R_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Föld sugara. A műbolygóra csak a kravitációs erő hat, melynek nagysága

   $\[F=\gamma\frac{mM}{R^{2}}\qquad\qquad \gamma=6,67\cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}}\,.\]$

   A képletben $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rendre a Föld és a műbolygó tömege. Ennek az erőnek kell a centripetális erő szerepét játszania (vagy másképpen mondva, a műbolygóval együtt forgó rendszerben a gravitációs erőnek kell kiegyenlítenie a centrifugális erőt).

   $\[m\frac{v^{2}}{R}=\gamma\frac{mM}{R^{2}}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{\gamma\frac{M}{R}}=\sqrt{\gamma\frac{M}{R_{0}+H}}=7348,5\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$