Kinematika - 1.1.7

Feladat

1. (1.1.7.) Két párhuzamosan haladó sínpáron egy-egy vonat halad egymás felé. Az egyik vonat sebessége $\setbox0\hbox{$v_{1}=10\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a másiké $\setbox0\hbox{$v_{2}=20\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A gyorsabban haladó vonat füttyjelet bocsát ki, melyet a vonat vezetője $\setbox0\hbox{$t=1\, \mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúnak észlel. Milyen hosszúnak méri a füttyjelet a töltésen álló, illetve a közeledő vonaton ülő megfigyelő? (hangsebesség: $\setbox0\hbox{$c=300\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

Megoldás

A megadott forgástengely a tömegközépponttól is $\setbox0\hbox{$\frac{h}4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra van, így a Steiner-tétel szerint a rá vonatkozó tehetetlenségi nyomaték

$\[\theta=\frac1{12}mh^2+m\left(\frac{h}4\right)^2=\frac7{48}mh^2.\]$

A végponti tehetetlenségi nyomatékból kiindulni helytelen lett volna, mert sem az, sem a megadott forgáspont nem tömegközéppont! A tömegközéppontban ható súlyerő forgatónyomatéka

$\[M(\alpha)=mg\frac{h}4sin\alpha\approx mg\frac{h}4\alpha\]$

a kis szögek miatt. Ezzel a mozgásegyenlet

$\[-mg\frac{h}4\alpha=\frac7{48}mh^2\ddot\alpha,\]$

egyszerűsítve

$\[\ddot\alpha=-\frac{12g}{7h}\alpha=-\omega^2\alpha,\]$

azaz valóban a harmonikus rezgés mozgásegyenletét kaptuk. Ebből a rezgés körfrekvenciáját leolvasva a periódusidőre adódik

$\[T=2\pi\sqrt{\frac{7h}{12g}}\]$

.