Erőtan I. - 2.1.2

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$M=15\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű terhet álló helyzetből egyenletesen gyorsítva függőlegesen $\setbox0\hbox{$9 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságra emelünk.

   a) Mekkora a gyorsulás, ha a végsebesség $\setbox0\hbox{$6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   b) Mekkora erő szükséges a mozgatáshoz?

   c) Mennyi ideig tart a mozgás és mekkora az átlagsebesség az utolsó másodpercben?

Megoldás

1. a) Az emelés időtartamát $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel jelöljük. A végsebesség így $\setbox0\hbox{$v_{1}=aT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a magasság pedig $\setbox0\hbox{$H=\frac{a}{2}T^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban írhatók.

   $\[T=\frac{v_{1}}{a}\]$

   $\[H=\frac{v_{1}^{2}}{2a} \qquad\Rightarrow\qquad a=\frac{v_{1}^{2}}{2H}=2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]$

   b) A mozgatás során a testre ható erők az általunk kifejtett $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő (felfelé) és a gravitációs erő (lefelé). Az eredő erő

   $\[F_{e}=F-F_{g}=ma \qquad\Rightarrow\qquad F=m(a+g)=192 \,\mathrm{N}\]$

   c) A mozgatás időtartama az a) rész alapján

   $\[T=\frac{2H}{v_{1}}=3\,\mathrm{s}\,.\]$

   Az utolsó másodpercben a sebesség egyenletesen nőtt $\setbox0\hbox{$4\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról $\setbox0\hbox{$6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ra, tehát az átlagsebesség $\setbox0\hbox{$5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ volt.