Erőtan I. - 2.1.48

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$m=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pontra $\setbox0\hbox{$F=-Dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú rugalmas erő hat. $\setbox0\hbox{$x_{1}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban az erő nagysága $\setbox0\hbox{$F_{1}=8\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kezdő időpontban $\setbox0\hbox{$x_{0}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a pont mozgását az idő függvényében!

Megoldás

1. A rugóállandó $\setbox0\hbox{$D=F_{1}/x_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint számolható ki. A tömegpont mozgásegyenlete

   $\[ma=-Dx\,.\]$

   A gyorsulás éppen az elmozdulás második időszerinti deriváltja, melyet $\setbox0\hbox{$\ddot{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint jelölünk. Így a mozgásegyenlet a

   $\[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\]$

   differenciálegyenletre vezet, ahol bevezettük az $\setbox0\hbox{$\omega=\sqrt{D/m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciát. A differenciál egyenlet két független megoldása $\setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, melyek mindketten egy harmonikus rezgőmozgást írnak le. A differenciálegyenlet lineáris, ezért az általános megoldás ezek tetszőleges lineáris kombinációjaként, azaz

   $\[x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\,,\]$

   a sebesség pedig

   $\[v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)\,.\]$

   Az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ együtthatókat a kezdeti feltételek segítségével határozhatjuk meg.

   $\[x(0)=x_{0}\qquad\Rightarrow\qquad A=x_{0}\]$

   $\[v(0)=v_{0}\qquad\Rightarrow\qquad B\omega=v_{0}\]$

   Ezek alapján megadható a pont mozgása.

   $\[x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{v_{0}}{\omega}\sin(\omega t)\]$

   $\[x_{0}=1\,\mathrm{m}\qquad v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad \omega=\sqrt{\frac{F_{1}}{x_{1}m}}=2\frac{1}{s}\]$

Bizonyos esetekben hasznos lehet az eredményünket tovább alakítani.

$\[x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\left[\frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}}\cos(\omega t)+ \frac{\frac{v_{0}}{\omega}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}}\sin(\omega t)\right]\]$

Vezessük be azt a $\setbox0\hbox{$\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázist, melyre

$\[\mbox{tg}\,\varphi_{0}=\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}\,.\]$

Ekkor

$\[x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\left[\cos\varphi_{0}\cos(\omega t)+\sin\varphi_{0}\sin(\omega t)\right]=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\cos(\omega t-\varphi_{0})\]$

alakban írható a megoldás, amelyről könnyedén le tudjuk olvasni a rezgés amplitúdóját és a kezdeti fázist.