Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan I.
Feladatok listája:
  1. Erőtan I. - 2.1.2
  2. Erőtan I. - 2.1.4
  3. Erőtan I. - 2.1.7
  4. Erőtan I. - 2.1.9
  5. Erőtan I. - 2.1.14
  6. Erőtan I. - 2.1.16
  7. Erőtan I. - 2.1.26
  8. Erőtan I. - 2.1.30
  9. Erőtan I. - 2.1.35
  10. Erőtan I. - 2.1.38
  11. Erőtan I. - 2.1.48
  12. Erőtan I. - 2.3.1
  13. Erőtan I. - 2.4.1
  14. Erőtan I. - 2.4.4
  15. Erőtan I. - 2.4.7
  16. Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós erejű rugó egyik végét a plafonhoz rögzítettük, másik végére pedig \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet kötöttünk, amihez egy további fonalállal egy másik, szintén \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet kötöttünk.
    a.) Mekkora a rugó megnyúlása egyensúlyi helyzetben?
    b.) Kicsit kitérítve az egyensúlyi helyzetből, mekkora lesz a kialakuló rezgés körfrekvenciája?
    Legyen ismét egyensúlyban a rendszer. Ekkor elvágjuk a fonalat.
    c.) Hol lesz az a rendszer új egyensúlyi helyzete?
    d.) Mekkora lesz az új körfrekvencia?
    e.) Mekkora amplitudójú rezgést végez a megmaradt test?
    f.) Adjuk meg a rezgés kitérés-idő függvényét!
    Rugo levag.svg

Megoldás

  1. a.) Mivel a feladat nem kérdezi a fonal-erőt, ezért egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a rugóra egy \setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test van rákötve. Ez mindaddig helyes, amíg a fonal esetleg meg nem lazul. A rugó egyensúlyi megnyúlása
    \[x_{e,0} = \frac{2 m g}{D} \; .\]
    b.) Mindaddig, amíg a fonal feszes marad (nem túl nagy amplitudójú rezgés), tekinthetjük úgy, hogy egy \setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test mozog. A mozgásegyenlete
    \[ 2m \ddot{x} = 2m g - D x \, .\]
    Érdemes áttérni az \setbox0\hbox{$y = x - x_{e,0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátára. Ezt behelyettesítve
    \[2 m \ddot{y} = - D y \; .\]
    Láthatóan egy konstans erővel terhelt harmonikus oszcillátor ismét egy harmonikus oszcillátor, csak az egyensúlyi helyzete eltolódik. A rezgés körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\omega = \sqrt{\frac{D}{2m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. (Azt, hogy ez hogy jön ki, a d.) feladat megoldása alapján itt is meg lehet csinálni.)
    c.) Levágva az alsó tömeget, az új egyensúlyi helyzet \setbox0\hbox{$x_{e,1} = \frac{m g}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    d.) Bevezetve a \setbox0\hbox{$z = x - x_{e,1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátát a mozgásegyenlet:
    \[m \ddot{z} = - D z \; .\]
    Ennek az egyenletnek az általános megoldása
    \[z(t) = A \sin (\omega t + \varphi) \, .\]
    Helyettesítsük be az általános megoldást!
    \[- m A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) = - D A \sin (\omega t + \varphi) \, .\]
    Láthatóan oszthatunk \setbox0\hbox{$A \sin()$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-al, amit kapunk:
    \[m \omega^2 = D\]
    , ebből \setbox0\hbox{$\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    e.) Az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétereket a kezdeti feltételek illesztésével nyerhetjük. A kezdőpillanatban a testünk a régi egyensúlyi helyen volt, azaz \setbox0\hbox{$x(0) = x_{e,0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből a kezdeti \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordináta \setbox0\hbox{$z(0) = x_{e,0} - x_{e,1} = \frac{m g}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kezdeti sebesség \setbox0\hbox{$\dot{z}(0) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Ezeket az egyenleteket felírva az általános megoldással:
    \[A \sin(\varphi) = z(0) = \frac{m g}{D}\]
    \[A \omega \cos(\varphi) = 0 \; .\]
    A második egyenletből \setbox0\hbox{$\cos(\varphi) = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$\varphi = \pi /2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% megfelelő. Ezt beírva az elsőbe \setbox0\hbox{$A \sin(\pi/2) = \frac{m g}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz \setbox0\hbox{$A = \frac{m g}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    f.)
    \[z(t) = \frac{m g}{D} \sin(\omega t + \pi/2) = \frac{m g}{D} \cos(\omega t)\]