Mechanika - Erőtan I.

Feladatok

1. (2.1.2) Egy $\setbox0\hbox{$M=15\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű terhet álló helyzetből egyenletesen gyorsítva függőlegesen $\setbox0\hbox{$9 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságra emelünk.

   a) Mekkora a gyorsulás, ha a végsebesség $\setbox0\hbox{$6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

   b) Mekkora erő szükséges a mozgatáshoz?

   c) Mennyi ideig tart a mozgás és mekkora az átlagsebesség az utolsó másodpercben?

   Végeredmény

   a) $\setbox0\hbox{$a=2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   b) $\setbox0\hbox{$F=177 \,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   c) $\setbox0\hbox{$v_{atl}=5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

2. (2.1.4) Egy autót $\setbox0\hbox{$4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással indítanak. A vezető az 5. másodperc végén akadályt pillant meg és $\setbox0\hbox{$1 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ telik el a fékezés megkezdéséig. Hány métert halad az autó az akadály megpillantása után, ha a fék a kerekeket teljesen lefékezi? Mennyit haladt volna, ha a vezető azonnal fékez? A lefékezett autó és az úttest közötti súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$s_{e}=79,6\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$s'=40 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
3. (2.1.7) Egy vasúti kocsi rakománya és a kocsi padlója közötti súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kocsi sebessége $\setbox0\hbox{$25\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora az a legrövidebb távolság, amelyen belül a kocsit a rakomány megcsúszásának veszélye nélkül állíthatjuk meg?
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$s_{min}=156,25\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
4. (2.1.9) Vízszintes deszkán fekszik egy nagy tömegű test. A deszka és a teher közötti súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$0,1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora gyorsulást kell adnunk vízszintes irányban a deszkának, hogy a teher lemaradjon róla?
   Végeredmény

   $\[a>1\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]$
   Megoldás
   
   
5. (2.1.14) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban elengedünk egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $\setbox0\hbox{$F(t)=kt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\setbox0\hbox{$\alpha=45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$m=4\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\mu=0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a test gyorsulása a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban?

   b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?

   c) Mikor áll meg a test?

   d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?

   e) Ha a lejtőt $\setbox0\hbox{$a_{0}=g/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban?

   Útmutatás

   Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!

   Végeredmény

   a) $\setbox0\hbox{$a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   b) $\setbox0\hbox{$t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   c) $\setbox0\hbox{$t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   d) $\setbox0\hbox{$a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   e) $\setbox0\hbox{$a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

6. (*2.1.16) Egy asztalon $\setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű deszka, a deszkán $\setbox0\hbox{$m'=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher fekszik. Mekkora vízszintes irányú $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel kell hatni a deszkára, hogy az a teher alól kicsússzon? A teher és a deszka közötti tapadási-súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu'=0,25$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , a deszka és az asztal közötti tapadási-súrlódási együttható pedig $\setbox0\hbox{$\mu=0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Útmutatás

   Határozd meg a testekre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!
   Írd fel a különböző felületekre a tapadás feltételét!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$F>22,5\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
7. (*2.1.26) Sima, vízszintes síkon levő kis méretű testre $\setbox0\hbox{$F(t)=kt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ törvény szerint változó erő hat úgy, hogy iránya a vízszintessel $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be. A test és a sík közti súrlódástól eltekintünk. Határozza meg

   a) a test sebességét abban a pillanatban, amikor a test kezd felemelkedni,

   b) a felemelkedés kezdetéig befutott utat! ($\setbox0\hbox{$v(t=0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$x(t=0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

   Útmutatás

   Határozzuk meg először azt az időpontot, amikor a test felemelkedik! A gyorsulás integrálásával határozzuk meg a sebesség, majd még egyszer integrálva a test helyzetének időfüggését

   Végeredmény

   a)

   $\[v(t_{e})=\frac{mg^{2}\cos\alpha}{2k\sin^{2}\alpha}\]$

   
   b)

   $\[x(t_{e})=\frac{m^{2}g^{3}\cos\alpha}{6k^{2}\sin^{3}\alpha}\]$

   Megoldás

   
   

8. (2.1.30) Megrakott $\setbox0\hbox{$m_{1}=420\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű csille $\setbox0\hbox{$\alpha=8$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$°-os lejtős pályán lefelé indul. Rakománya $\setbox0\hbox{$m_{2}=560\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A pályán a súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$\mu=0,08$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a gyorsulása?

   b) Mekkora a sebessége $\setbox0\hbox{$s_{1}=600\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ út befutása után?

   c) Hány $\setbox0\hbox{$\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú út befutása után kell megkezdeni a fékezést, ha azt akarjuk, hogy a kocsi $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál jobban ne gyorsuljon fel?

   d) Mekkora fékezőerőt kell alkalmazni a $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó sebesség fenntartására?

   e) Mennyi idő alatt fut le a kocsi a lejtőn, ha annak hossza $\setbox0\hbox{$s_{2}=900\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és a $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elérése után ezzel az állandó sebességgel halad tovább?

   Útmutatás

   Írd fel a rakományra ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!

   Végeredmény

   a) $\setbox0\hbox{$a=0,59\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   b) $\setbox0\hbox{$v_{1}=26,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   c) $\setbox0\hbox{$s_{3}=30,5\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   d) $\setbox0\hbox{$F=578,2 \,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   e) $\setbox0\hbox{$T=155,1\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   Megoldás

   
   

9. (2.1.35) Vízszintes sík fölött $\setbox0\hbox{$h_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű, $\setbox0\hbox{$h_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtőt helyezünk el. Ennek tetejéről test csúszik le, mely a vízszintesen mérve a lejtő csúcsától $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban csapódik le. (2.1.35.ábra) Mennyi a lejtő és a test között a súrlódási együttható? ($\setbox0\hbox{$\alpha=45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h_{1}=24\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$h_{2}=10\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$s=12\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.)
   
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$\mu=0,4$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
10. (*2.1.38) Az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre egy vékony lécet erősítünk úgy, hogy az a lejtőre illeszkedő vízszintes egyenessel $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be. A léc mellett csúszik egy tégla. Mekkora a gyorsulása, ha a csúszási súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu<\mbox{tg}\,\alpha\cos\varphi/(1+\mbox{tg}\,\alpha\sin\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?
    
    Útmutatás

    Először a lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensekre bontsd fel az erőket! Ezután a párhuzamos síkban bontsd fel léccel párhuzamos és lécre merőleges komponensre!
    Végeredmény

    $\[a=g\left[\sin\alpha\sin\varphi-\mu\left(\cos\alpha+\sin\alpha\cos\varphi\right)\right]\]$
    Megoldás
    
    
11. (*2.1.38) Egy $\setbox0\hbox{$m=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pontra $\setbox0\hbox{$F=-Dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakú rugalmas erő hat. $\setbox0\hbox{$x_{1}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban az erő nagysága $\setbox0\hbox{$F_{1}=8\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A kezdő időpontban $\setbox0\hbox{$x_{0}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a pont mozgását az idő függvényében!
    Útmutatás

    Írjuk fel a tömegpontra vonatkozó mozgásegyenletet! Oldjuk meg az így kapott differenciálegyenletet!
    Végeredmény

    $\[x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\cos(\omega t-\varphi_{0})\]$
    Megoldás
    
    
12. (2.3.1) Tegyük fel, hogy egy műhold a földfelszín felett $\setbox0\hbox{$H=1000 \,\mathrm{km}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban kering a Föld körül. Mekkora sebességgel kering, ha csak a Föld vonzóereje hat rá?
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$v=7348,5\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás
    
    
13. (2.4.1) Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű golyóból és $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, nyújthatatlan fonálból álló ingát a függőlegestől $\setbox0\hbox{$90^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-kal kitérítünk, majd elengedünk. Mekkora erő feszíti a fonalat a golyó pályájának legalsó pontján való áthaladáskor? (A fonál tömege és a közegelenállás elhanyagolható.)
    Útmutatás

    Energetikai megfontolásokkal határozd meg a golyó sebességét az alsó pontban!
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$K=3mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás
    
    
14. (*2.4.4) Egy $\setbox0\hbox{$5 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú fonálon függő $\setbox0\hbox{$2,5 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű fémgömb egy motor tengelyére van szerelve. Mekkora a fonalat feszítő erő ($\setbox0\hbox{$F_{f}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és mekkora szöggel hajlik ki az inga a függőlegestől, ha a motor fordulatszáma $\setbox0\hbox{$n=\frac{72}{\,\mathrm{perc}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és feltesszük, hogy a fonál nem csavarodik meg a mozgás során?
    
    Útmutatás

    Az együtt forgó rendszerben vizsgáljuk meg az erőviszonyokat!
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$\alpha=88^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás
    
    
15. (*2.4.7) Egy $\setbox0\hbox{$D=29,43\,\mathrm{\frac{N}{m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugalmassági állandójú, $\setbox0\hbox{$l_{0}=30\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyugalmi hosszúságú felfüggesztett rugó végére egy $\setbox0\hbox{$m=0,1 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű golyót helyezünk. A golyó állandó nagyságú sebességgel vízszintes kört ír le, miközben a rugó tengelye a függőlegessel $\setbox0\hbox{$45$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$°-os szöget zár be. Mekkora a rugó megnyúlása és a golyó sebességének nagysága?
    Útmutatás

    Írd fel Newton-törvények segítségével a golyóra ható erőket!
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$\Delta l=4,71\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    $\setbox0\hbox{$v=1,55\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás
    
    
16. Egy $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ direkciós erejű rugó egyik végét a plafonhoz rögzítettük, másik végére pedig $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet kötöttünk, amihez egy további fonalállal egy másik, szintén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet kötöttünk.

    a.) Mekkora a rugó megnyúlása egyensúlyi helyzetben?

    b.) Kicsit kitérítve az egyensúlyi helyzetből, mekkora lesz a kialakuló rezgés körfrekvenciája?

    Legyen ismét egyensúlyban a rendszer. Ekkor elvágjuk a fonalat.

    c.) Hol lesz az a rendszer új egyensúlyi helyzete?

    d.) Mekkora lesz az új körfrekvencia?

    e.) Mekkora amplitudójú rezgést végez a megmaradt test?

    f.) Adjuk meg a rezgés kitérés-idő függvényét!

    

    Végeredmény

    Lásd a teljes megoldást.

    Megoldás