„Integrálás - Területszámítás” változatai közötti eltérés

A lap 2013. március 28., 14:29-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika gyakor…”)		A lap 2013. május 31., 09:49-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) Újabb szerkesztés →
2. sor:		2. sor:
	[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]		[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
	[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]		[[Kategória:Szerkesztő:Gombkötő]]
		+	[[Kategória:Mechanika]]
	{{Kísérleti fizika gyakorlat		{{Kísérleti fizika gyakorlat
	| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.		| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
7. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># feladat szövege</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=útmutatás szövege}}{{Végeredmény|content=eredmény szövege}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+	</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az $ f_1 (x) = cos x $ és az $ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$ függvéynek által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$T=2sin(1) - \frac{\pi}2$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex>megoldás szövege</wlatex>	+	<wlatex>A keresett területet a $$T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x) dx \right| $$ képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így $T=T_1-T_2$. Másrészt az $f_2$ görbe egy egység sugarú félkör, tehát $T_2=\pi/2$-t kell kapjunk.
		+
		+	Az 1. függvény primitívfüggvénye $F_1(x)=\sin x+c$, így $T_1=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1)$. $F_2(x)$ meghatározásáhzo végezzük el az $x=\cos y$ helyettesítést: $$f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,$$ de ha a párosság miatt csak a $0\le x \le 1$ intervallumon integrálunk, akkor $f_2 (y)=\sin y$, továbbá $$\frac {dx}{dy} = -\sin y,$$ $$dx= -\sin y dy ,$$ az új határok $x = 0$-nál $y =\frac { \pi}{2}$ és $x = 1 $-nél $y = 0$, ezzel $$\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \ pi }{4},$$, ami a teljes intervallumon valóban $\pi/2$. Végül a keresett terület $$T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}$$</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap 2013. május 31., 09:49-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája: Alapvető integrálok Területszámítás Parciális integrálás Vegyes integrálok Tömegközéppont számítás Időfüggvények Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. Határozzuk meg az és az függvéynek által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!

Megoldás

A keresett területet a képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így . Másrészt az görbe egy egység sugarú félkör, tehát -t kell kapjunk. Az 1. függvény primitívfüggvénye , így . meghatározásáhzo végezzük el az helyettesítést: de ha a párosság miatt csak a intervallumon integrálunk, akkor , továbbá az új határok -nál és -nél , ezzel , ami a teljes intervallumon valóban . Végül a keresett terület