„Kinematika - 1.4.20” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
<wlatex>#: A távolságok rögzítettek, ezért az ÁBRÁn szereplő $L$ távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen $\alpha$ szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen $\beta$ irányba ússzon. | <wlatex>#: A távolságok rögzítettek, ezért az ÁBRÁn szereplő $L$ távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen $\alpha$ szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen $\beta$ irányba ússzon. | ||
− | + | [[Kép:1.4.20.svg|none|250px]] | |
A mentés összes ideje az ÁBRÁn jelzett $x$ távolság függvényében $$T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}$$ szerint írható. Az idő minimális, ha $$\frac{dT}{dx}=0$$ $$\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,.$$ Az ÁBRA alapján észrevehetjük, hogy $$\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,$$ így a minimális időt az alábbi feltétel határozza meg. $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}$$ Az eredményben felismerhetjük a Snellius-Descartes törvényt. Az optikában a fény terjedésének leírásához általában is használható az úgynevezett Fermat-elv, amely variációs elvnek a mechanikai analógiája ez a feladat. | A mentés összes ideje az ÁBRÁn jelzett $x$ távolság függvényében $$T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}$$ szerint írható. Az idő minimális, ha $$\frac{dT}{dx}=0$$ $$\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,.$$ Az ÁBRA alapján észrevehetjük, hogy $$\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,$$ így a minimális időt az alábbi feltétel határozza meg. $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}$$ Az eredményben felismerhetjük a Snellius-Descartes törvényt. Az optikában a fény terjedésének leírásához általában is használható az úgynevezett Fermat-elv, amely variációs elvnek a mechanikai analógiája ez a feladat. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. június 28., 23:15-kori változata
[rejt] Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Mozgástan |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy ember a tó partján sétálva a tóban egy fuldoklót vesz észre. A fuldokló a parttól
, az ember
távolságban van. A fuldokló és a mentésére siető távolsága
. Milyen úton haladjon a mentésre siető ember, hogy a fuldoklót leghamarabb elérje, ha a parton futva
, a vízben úszva
sebességgel tud haladni?
Megoldás
- A távolságok rögzítettek, ezért az ÁBRÁn szereplő
távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen
szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen
irányba ússzon.
- A távolságok rögzítettek, ezért az ÁBRÁn szereplő

![\[T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}\]](/images/math/b/f/d/bfd5d4c05b09de29878b121585040e24.png)
![\[\frac{dT}{dx}=0\]](/images/math/f/9/6/f96f186ac0c37cd905e7f27d3d8ce3df.png)
![\[\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,.\]](/images/math/7/3/3/733741f9370e7f9dfc314e9baeefe8dd.png)
![\[\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,\]](/images/math/e/5/d/e5dc0a1603e3027346a319b1d2e403d2.png)
![\[\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}\]](/images/math/d/f/4/df43d74f3c20a4203f7a492138e4b27b.png)