„Erőtan I. - 2.1.14” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># |
+ | [[Kép:2.1.14.svg|none|250px]] | ||
+ | Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=45^\circ$, $m=4\,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. | ||
#: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | #: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | ||
#: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | #: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | ||
15. sor: | 17. sor: | ||
#: e) Ha a lejtőt $a_{0}=g/2$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | #: e) Ha a lejtőt $a_{0}=g/2$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre. | <wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre. |
A lap 2013. június 29., 00:02-kori változata
Feladat
Egyhajlásszögű lejtő tetejéről a
időpontban elengedünk egy
tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan
nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok :
,
,
,
,
.
- a) Mekkora a test gyorsulása a
időpontban?
- b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?
- c) Mikor áll meg a test?
- d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?
- e) Ha a lejtőt
gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a
időpontban?
- a) Mekkora a test gyorsulása a
Megoldás
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges
és egy a lejtővel párhuzamos
komponensre.
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges
ÁBRA
A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért![\[N=F_{g1}\,.\]](/images/math/1/f/0/1f04cdff3fa3b9ef4f8edfb3e5bf538b.png)
![\[ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,\]](/images/math/6/3/7/637e11b93c4d6158bdb506e7e765d3a0.png)
![\setbox0\hbox{$S=\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/f/6/3f65903a619d93e144202f0776af2ba2.png)
![\[ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt\]](/images/math/8/0/5/805fac3d4fb483ef0a5d0c2a00ada805.png)
![\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/f/8/3f88d644e07e5f3c6d89b70820e25986.png)
![\setbox0\hbox{$a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/4/a/44af327c91e7bbbda08424f43cf3173d.png)
Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a
![\setbox0\hbox{$t_{e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/e/c/dec4906e7f8f319f52f7307bc3933562.png)
![\setbox0\hbox{$a(t_{e})=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/5/f/35fd38273500bfb0f7605977236fae88.png)
![\[t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.\]](/images/math/2/1/3/2132fec809119a28ee332507f2090048.png)
- c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. A kezdeti sebesség 0, ígyA test abban a
időpillanatban áll meg, amikor
. Ebből az egyenletből a
is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is
volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes.
- d) A megállás pillanatában a gyorsulás éppen
-szerese a kezdeti gyorsulásnak.
- e) Ha megtoljuk a lejtőt, akkor a lejtőhöz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. A lejtővel párhuzamos iránybana test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az
gyorsulást.
- c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki.