„Kinematika - 1.3.1” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># ÁBRA ÁBRAM Az $x$ tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható. | + | </noinclude><wlatex># ÁBRA ÁBRAM Az $x$ tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható. [[Kép:Kfgy1_1.3.1.gif|none|400px]] |
#: a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség $v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$! | #: a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség $v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$! | ||
#: b) Határozza meg a tömegpont helyét a $t=1 \,\mathrm{s}$ és $t=3 \,\mathrm{s}$ időpillanatokban, ha a tömegpont $t=0$-ban az $x=0$ pontban volt! | #: b) Határozza meg a tömegpont helyét a $t=1 \,\mathrm{s}$ és $t=3 \,\mathrm{s}$ időpillanatokban, ha a tömegpont $t=0$-ban az $x=0$ pontban volt! | ||
| 14. sor: | 14. sor: | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=b)$$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}$$ c)$$v_{\mbox{átl}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=b)$$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}$$ c)$$v_{\mbox{átl}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex># a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum $t=0$-tól $t=2\,\mathrm{s}$-ig tart. Ezen a szakaszon $a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$, $v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$ és $x(t=0)=0$. A gyorsulás alapján a sebesség $$v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t$$ szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg. $$x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}$$ Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a $t=2\,\mathrm{s}$ időpontban $$v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.$$ Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon ($2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$) $a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. Az első szakaszhoz hasonlóan $$v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})$$$$x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t^{2}-4\,\mathrm{s}^{2})\,.$$ A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az ÁBRÁn láthatjuk. | + | <wlatex># a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. [[Kép:Kfgy1_1.3.1M.gif|none|400px]] Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum $t=0$-tól $t=2\,\mathrm{s}$-ig tart. Ezen a szakaszon $a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$, $v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$ és $x(t=0)=0$. A gyorsulás alapján a sebesség $$v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t$$ szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg. $$x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}$$ Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a $t=2\,\mathrm{s}$ időpontban $$v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.$$ Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon ($2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$) $a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. Az első szakaszhoz hasonlóan $$v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})$$$$x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t^{2}-4\,\mathrm{s}^{2})\,.$$ A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az ÁBRÁn láthatjuk. |
#: b) Az a) rész eredményei alapján $$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}\,.$$ | #: b) Az a) rész eredményei alapján $$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}\,.$$ | ||
#: c) Az átlag sebesség a $1\,\mathrm{s}<t<3\,\mathrm{s}$ intervallumon $$v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.$$ | #: c) Az átlag sebesség a $1\,\mathrm{s}<t<3\,\mathrm{s}$ intervallumon $$v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. július 1., 10:43-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- ÁBRA ÁBRAM Az
tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható. 
- a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség
!
- b) Határozza meg a tömegpont helyét a
és 
időpillanatokban, ha a tömegpont 
-ban az 
pontban volt!
- c) Mekkora a tömegpont átlagsebessége a és a közötti időintervallumban?
- a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség
Megoldás
- a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum
-tól 
-ig tart. Ezen a szakaszon 
, 
és 
. A gyorsulás alapján a sebesség szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg.![\[v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t\]](/images/math/c/5/9/c597ea5812497e6b4e6ebe6a81b92a4e.png)
Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a![\[x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}\]](/images/math/b/0/1/b018265b0f7c5afdc1bc3bd6bf9a67b8.png)
időpontban Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon (![\[v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.\]](/images/math/5/a/6/5a667a1bab1ede98e19538fa92135496.png)
) 
. Az első szakaszhoz hasonlóan ![\[v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})\]](/images/math/8/0/9/809efbe55ea8ddfd9cfcfeebd9386af7.png)
A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az ÁBRÁn láthatjuk.![\[x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t^{2}-4\,\mathrm{s}^{2})\,.\]](/images/math/8/f/8/8f84bedc27e3d0a233a3f05e940c9429.png)
- b) Az a) rész eredményei alapján
![\[x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}\,.\]](/images/math/e/2/e/e2ed71fb75cc2eae629cd343c6af1402.png)
- c) Az átlag sebesség a
intervallumon ![\[v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]](/images/math/a/c/b/acbc872bcdb3d0718848b9c087c58589.png)
- b) Az a) rész eredményei alapján
