„Erőtan I. - 2.1.14” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex> | + | </noinclude><wlatex># Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=45^\circ$, $m=4\,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. |
− | # Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=45^\circ$, $m=4\,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. | + | |
#: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | #: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | ||
#: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | #: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | ||
16. sor: | 15. sor: | ||
#: e) Ha a lejtőt $a_{0}=g/2$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | #: e) Ha a lejtőt $a_{0}=g/2$ gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
− | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre. [[Kép:2.1.14.svg|none|250px]] A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért $$N=F_{g1}\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. $$ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,$$ ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: $S=\mu N$. $$ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt$$ A kezdeti $t=0$ időpillanatban $a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. <br><br> Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a $t_{e}$ időpontban történik meg, amikor $a(t_{e})=0$. Ebből $$t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.$$ | <wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre. [[Kép:2.1.14.svg|none|250px]] A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért $$N=F_{g1}\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. $$ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,$$ ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: $S=\mu N$. $$ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt$$ A kezdeti $t=0$ időpillanatban $a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. <br><br> Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a $t_{e}$ időpontban történik meg, amikor $a(t_{e})=0$. Ebből $$t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.$$ |
A lap 2013. július 1., 11:52-kori változata
Feladat
- Egy hajlásszögű lejtő tetejéről a időpontban elengedünk egy tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : , , , , .
- a) Mekkora a test gyorsulása a időpontban?
- b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?
- c) Mikor áll meg a test?
- d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?
- e) Ha a lejtőt gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a időpontban?
Megoldás
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges és egy a lejtővel párhuzamos komponensre. A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: . A kezdeti időpillanatban .
Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a időpontban történik meg, amikor . Ebből - c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. A kezdeti sebesség 0, így A test abban a időpillanatban áll meg, amikor . Ebből az egyenletből a is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes.
- d) A megállás pillanatában a gyorsulás éppen -szerese a kezdeti gyorsulásnak.
- e) Ha megtoljuk a lejtőt, akkor a lejtőhöz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. A lejtővel párhuzamos irányban a test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az gyorsulást.
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges és egy a lejtővel párhuzamos komponensre. A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: . A kezdeti időpillanatban .