„Integrálás - Területszámítás” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az $ f_1 (x) = cos x $ és az $ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$ függvéynek által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=2sin(1) - \frac{\pi}2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

Az 1. függvény primitívfüggvénye $F_1(x)=\sin x+c$, így $T_1=\sin(1)-\sin(-1)=2\sin(1)$. $F_2(x)$ meghatározásáhzo végezzük el az $x=\cos y$ helyettesítést: $$f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,$$ de ha a párosság miatt csak a $0\le x \le 1$ intervallumon integrálunk, akkor $f_2 (y)=\sin y$, továbbá $$\frac {dx}{dy} = -\sin y,$$ $$dx= -\sin y dy ,$$ az új határok $x = 0$-nál $y =\frac { \pi}{2}$ és $x = 1 $-nél $y = 0$, ezzel $$\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \pi }{4},$$ ami a teljes intervallumon valóban $\pi/2$. Végül a keresett terület $$T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}$$</wlatex>