„Integrálás - Alapvető integrálok” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = Kísérleti fizika gyakor…”)
 
(→‎Megoldás)
 
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor: 8. sor:
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az alábbi integrálokat!
 
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az alábbi integrálokat!
−
a) $$\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx$$
+
#: a) $$\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx$$  
−
b) $$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx$$
+
#: b) $$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx$$  
−
c) $$\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx$$
+
#: c) $$\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx$$  
−
d) $$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx$$
+
#: d) $$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx$$  
−
e) $$\int\sqrt{3x+2}dx$$
+
#: e) $$\int\sqrt{3x+2}dx$$  
−
f) $$\int\frac{1}{2x}dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=útmutatás szövege}}{{Végeredmény|content=eredmény szövege}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
#: f) $$\int\frac{1}{2x}dx$$</wlatex><includeonly></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>a)$$\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx=3x+2x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}+C$$
+
<wlatex>#: a)$$\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx=3x+2x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}+C$$  
−
b)$$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos(5x)}{5}\right]^{2}_{-1}=\frac{8}{3}+\frac{\cos 10}{5}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{\cos 5}{5}\right)\approx 2.78$$
+
#: b)$$\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos(5x)}{5}\right]^{2}_{-1}=\frac{8}{3}+\frac{\cos 10}{5}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{\cos 5}{5}\right)\approx 2.78$$  
−
c)$$\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\left[\frac{x}{2}\right]^{\pi}_{0}-\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]^{\pi}_{0}=\frac{\pi}{2}$$
+
#: c)$$\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\left[\frac{x}{2}\right]^{\pi}_{0}-\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]^{\pi}_{0}=\frac{\pi}{2}$$  
−
d)$$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}$$
+
#: d)$$\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}$$  
−
e)$$\int\sqrt{3x+2}dx=\int \left(3x+2\right)^{\frac{1}{2}}dx=2(3x+2)^{\frac{3}{2}}+C$$
+
#: e)$$\int\sqrt{3x+2}dx=\int \left(3x+2\right)^{\frac{1}{2}}dx=\frac 29(3x+2)^{\frac{3}{2}}+C$$  
−
f)$$\int\frac{1}{2x}dx=\frac{\ln (2x)}{2}+C$$
+
#: f)$$\int\frac{1}{2x}dx=\frac{\ln (2x)}{2}+C$$ vagy $$\int\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}\ln x+C'$$ $$C'=C+\frac{\ln 2}{2}$$</wlatex>
−
vagy
+
−
$$\int\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}\ln x+C'$$
+
−
$$C'=C+\frac{\ln 2}{2}$$</wlatex>
+
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. szeptember 20., 08:56-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat!
    a)
    \[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx\]
    b)
    \[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx\]
    c)
    \[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx\]
    d)
    \[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx\]
    e)
    \[\int\sqrt{3x+2}dx\]
    f)
    \[\int\frac{1}{2x}dx\]

Megoldás

  1. a)
    \[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx=3x+2x^{2}+\frac{5}{3}x^{3}+C\]
    b)
    \[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{\cos(5x)}{5}\right]^{2}_{-1}=\frac{8}{3}+\frac{\cos 10}{5}-\left(-\frac{1}{3}+\frac{\cos 5}{5}\right)\approx 2.78\]
    c)
    \[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\left[\frac{x}{2}\right]^{\pi}_{0}-\left[\frac{\sin(2x)}{4}\right]^{\pi}_{0}=\frac{\pi}{2}\]
    d)
    \[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)}{2}\right)dx=\frac{\pi}{2}\]
    e)
    \[\int\sqrt{3x+2}dx=\int \left(3x+2\right)^{\frac{1}{2}}dx=\frac 29(3x+2)^{\frac{3}{2}}+C\]
    f)
    \[\int\frac{1}{2x}dx=\frac{\ln (2x)}{2}+C\]
    vagy
    \[\int\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}\ln x+C'\]
    \[C'=C+\frac{\ln 2}{2}\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Integrálás_-_Alapvető_integrálok&oldid=12744”