„Kinematika - 1.3.1” változatai közötti eltérés

#: c) Mekkora a tömegpont átlagsebessége a $t=1 \,\mathrm{s}$ és a $t=3 \,\mathrm{s}$ közötti időintervallumban?

<wlatex># a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. [[Kép:Kfgy1_1.3.1M.gif|none|400px]] Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum $t=0$-tól $t=2\,\mathrm{s}$-ig tart. Ezen a szakaszon $a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$, $v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$ és $x(t=0)=0$. A gyorsulás alapján a sebesség $$v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t$$ szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg. $$x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}$$ Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a $t=2\,\mathrm{s}$ időpontban $$v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.$$ Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon ($2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$) $a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. Az első szakaszhoz hasonlóan $$v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})$$$$x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t-2s)^{2}\,.$$ A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az 1.3.1M ábrán láthatjuk. [[Kép:Kfgy1_1.3.1.gif|none|400px]]