„Kinematika - 1.4.20” változatai közötti eltérés

<wlatex>#: A távolságok rögzítettek, ezért az ábrán szereplő $L$ távolság is rögzített. A mentésre indulónak azt kell eldöntenie, hogy milyen $\alpha$ szög alatt kell a part felé indulnia, és milyen $\beta$ irányba ússzon. [[Kép:1.4.20.svg|none|350px]] A mentés összes ideje az ábrán jelzett $x$ távolság függvényében $$T(x)=\frac{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}{v_{2}}+\frac{\sqrt{h_{1}^{2}+(L-x)^{2}}}{v_{1}}$$ szerint írható. Az idő minimális, ha $$\frac{dT}{dx}=0$$ $$\frac{1}{v_{2}}\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}-\frac{1}{v_{1}}\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=0\,,$$ ahol egy kettes szorzóval már egyszerűsítettünk. Az ábra alapján észrevehetjük, hogy $$\frac{x}{\sqrt{h_{2}^{2}+x^{2}}}=\sin\alpha\qquad\mbox{és}\qquad\frac{L-x}{\sqrt{h_{2}^{2}+(L-x)^{2}}}=\sin\beta\,,$$ így a minimális időt az alábbi feltétel határozza meg. $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_{2}}{v_{1}}$$ Az eredményben felismerhetjük a Snellius-Descartes törvényt. Az optikában a fény terjedésének leírásához általában is használható az úgynevezett Fermat-elv, amely variációs elvnek a mechanikai analógiája ez a feladat.