„Kinematika - 1.2.17” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
(2 szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
2. sor: | 2. sor: | ||
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]] | [[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]] | ||
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]] | [[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]] | ||
− | [[Kategória: | + | [[Kategória:Mechanika - Mozgástan]] |
{{Kísérleti fizika gyakorlat | {{Kísérleti fizika gyakorlat | ||
| tárgynév = Kísérleti fizika gyakorlat 1. | | tárgynév = Kísérleti fizika gyakorlat 1. | ||
− | | témakör = | + | | témakör = Mechanika - Mozgástan |
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?) | + | </noinclude><wlatex># (**1.2.17, csak csemegének) Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?) |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex># A fonál hosszúsága az idő függvényében $$l(t)=l_{0}+ct\,,$$ mert a manó egyenletes sebességgel húzza. <br> Ha a hangya faltól mért távolságát $x(t)$-vel jelöljük, akkor egy adott $t$ pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége $$v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.$$ A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig $v_{0}$, ezért a falhoz viszonyított sebesség $$v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)$$$$x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.$$ A kapott differenciálegyenletet az $x(0)=0$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)$$ alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel). <br> A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti $\Delta s(t)=l(t)-x(t)$ távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük $T$-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. $$\Delta s(T)=0$$ $$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben utoléri a manót. <br><br> Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége $$v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.$$$$x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,$$ amelyet az $x(0)=l_{0}$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]$$ alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan $T$, melyre $$x(T)=0\,.$$$$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben eléri a falat. | <wlatex># A fonál hosszúsága az idő függvényében $$l(t)=l_{0}+ct\,,$$ mert a manó egyenletes sebességgel húzza. <br> Ha a hangya faltól mért távolságát $x(t)$-vel jelöljük, akkor egy adott $t$ pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége $$v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.$$ A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig $v_{0}$, ezért a falhoz viszonyított sebesség $$v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)$$$$x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.$$ A kapott differenciálegyenletet az $x(0)=0$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)$$ alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel). <br> A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti $\Delta s(t)=l(t)-x(t)$ távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük $T$-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. $$\Delta s(T)=0$$ $$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben utoléri a manót. <br><br> Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége $$v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.$$$$x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,$$ amelyet az $x(0)=l_{0}$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]$$ alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan $T$, melyre $$x(T)=0\,.$$$$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben eléri a falat. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 16:16-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Mozgástan |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (**1.2.17, csak csemegének) Egy
hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva
sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó
állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)
Megoldás
- A fonál hosszúsága az idő függvényében mert a manó egyenletes sebességgel húzza.
Ha a hangya faltól mért távolságát-vel jelöljük, akkor egy adott
pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége
A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig, ezért a falhoz viszonyított sebesség
A kapott differenciálegyenletet azkezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel).
A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó köztitávolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük
-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik.
A hangya tehát minden esetben utoléri a manót.
Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebességeamelyet azkezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan, melyre
A hangya tehát minden esetben eléri a falat.