„Kinematika - 1.3.8” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (1.3.8.) Egy részecske a pozitív $x$ tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: $v=D\sqrt{x}$, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a $t=0$ időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg | + | </noinclude><wlatex># (*1.3.8.) Egy részecske a pozitív $x$ tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: $v=D\sqrt{x}$, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a $t=0$ időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg |
#: a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől! | #: a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől! | ||
#: b) a részecske átlagsebességét, míg az $x=0$ pontból az $x=b$ pontba jut! | #: b) a részecske átlagsebességét, míg az $x=0$ pontból az $x=b$ pontba jut! | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján írjuk fel az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content=a) $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ b) $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján írjuk fel az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content=a) $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ b) $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>#: a) A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenlet $$\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}$$ alakban írható. A kezdeti feltétel $x(0)=0$. $$\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D$$$$\frac{d}{dt}\left( | + | <wlatex>#: a) A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenlet $$\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}$$ alakban írható. A kezdeti feltétel $x(0)=0$. $$\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D$$$$\frac{d}{dt}\left(2\sqrt{x}\right)=D$$$$2\sqrt{x}=Dt+C\,,$$ ahol $C$ egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük. $$x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}$$ A kezdeti feltétel miatt $c=0$, vagyis $$x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.$$ Ez alapján $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ |
#: b) Jelöljük $T$-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az $x=b$ pontban van. $$x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}$$ Így az átlag sebesség $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$ | #: b) Jelöljük $T$-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az $x=b$ pontban van. $$x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}$$ Így az átlag sebesség $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:17-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*1.3.8.) Egy részecske a pozitív
tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: 
, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a 
időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg
- a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől!
- b) a részecske átlagsebességét, míg az
pontból az 
pontba jut!
Megoldás
- a) A
összefüggés alapján az 
függvényre vonatkozó differenciál egyenlet alakban írható. A kezdeti feltétel![\[\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}\]](/images/math/a/8/6/a86d039261e36853c061b05836b5c999.png)
. ![\[\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D\]](/images/math/4/1/f/41f0a2ded8af6aaed02ba1df07969997.png)
![\[\frac{d}{dt}\left(2\sqrt{x}\right)=D\]](/images/math/b/d/f/bdf7eee7e32e1df220ebd4d6c7ccc740.png)
ahol![\[2\sqrt{x}=Dt+C\,,\]](/images/math/c/6/d/c6db3cc8bad52044111355e235bc805f.png)
egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük. A kezdeti feltétel miatt![\[x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}\]](/images/math/c/e/1/ce14ad845ce83cd8ed84edbdf2f5afd8.png)
, vagyis Ez alapján![\[x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.\]](/images/math/e/0/e/e0ec653121816e657557c7c584f768b5.png)
![\[v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.\]](/images/math/5/c/3/5c35932b8b593f4579cfad4df4ec0f57.png)
- b) Jelöljük
-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az pontban van. Így az átlag sebesség![\[x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}\]](/images/math/b/2/6/b269419b83ea3de04a2ce0689e51456c.png)
![\[v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.\]](/images/math/3/3/5/3357662062e58205cc30d3b9e3c4f776.png)
- a) A
