„Erőtan I. - 2.1.16” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (2.1.16) Egy asztalon $m=1\,\mathrm{kg}$ tömegű deszka, a deszkán $m'=2\,\mathrm{kg}$ tömegű teher fekszik. Mekkora vízszintes irányú $F$ erővel kell hatni a deszkára, hogy az a teher alól kicsússzon? A teher és a deszka közötti tapadási-súrlódási együttható $\mu'=0,25$ , a deszka és az asztal közötti tapadási-súrlódási együttható pedig $\mu=0,5$. | + | </noinclude><wlatex># (*2.1.16) Egy asztalon $m=1\,\mathrm{kg}$ tömegű deszka, a deszkán $m'=2\,\mathrm{kg}$ tömegű teher fekszik. Mekkora vízszintes irányú $F$ erővel kell hatni a deszkára, hogy az a teher alól kicsússzon? A teher és a deszka közötti tapadási-súrlódási együttható $\mu'=0,25$ , a deszka és az asztal közötti tapadási-súrlódási együttható pedig $\mu=0,5$. |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testekre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével! <br>Írd fel a különböző felületekre a tapadás feltételét!}}{{Végeredmény|content= $F>22,5\,\mathrm{N}$ }}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testekre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével! <br>Írd fel a különböző felületekre a tapadás feltételét!}}{{Végeredmény|content= $F>22,5\,\mathrm{N}$ }}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az a maximális erő, melyre még éppen a deszka sem és a teher sem mozdulnak meg. A megoldás során a deszkára ható erők vessző nélküliek, míg a teherre ható erőket vesszővel jelöljük. <br><br> A teherre vonatkozó mozgásegyenletek $$\mbox{függőleges}\qquad N'=F_{g}'=m'g\,.$$ A deszkára vonatkozó mozgásegyenletek $$\mbox{függőleges}\qquad N=F_{g}+G\qquad\qquad\mbox{vízszintes}\qquad F=T\,.$$ Newton III. törvénye miatt $N'=G$, így $N=(m+m')g$. A tapadási erő az alábbi összefüggésben van a nyomóerővel. $$\mu N\geq T$$ $$\mu(m+m')g\geq F$$ Tehát ha az erő kisebb, mint $F_{min}=\mu(m+m')g$, akkor se a deszka, se a teher nem mozdulnak meg. Nagyobb erők esetén azonban már a deszka elkezd csúszni az asztalon. <br><br> Tegyük fel egyelőre, hogy a teher még nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. A testekre vonatkozó függőleges irányú mozgásegyenletek megegyeznek a korábbiakkal, a vízszintes irányúak azonban $$m'a=T'$$ $$ma=F-T'-S$$ szerint írhatóak fel, ahol $S=\mu N$. A gyorsulás az elsőegyenlet alapján $a=T'/m'$. Ezzel behelyettesítve a második egyenletbe $$T'\frac{m}{m'}=F-T'-\mu(m+m')g\qquad\Rightarrow\qquad T'=\frac{Fm'}{m+m'}-\mu m'g$$ a tapadási erő kifejezhető, amely a deszka és a teher közti nyomóerővel az alábbi kapcsolatban van. $$T'\leq\mu'N'$$ $$F\leq(m+m')(\mu+\mu')g$$ Tehát ha a húzóerő kisebb, mint $F_{\mathrm{min}2}=(m+m')(\mu+\mu')g$, akkor a teher nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. Az eddig meghatározott két erőre fennáll az $F_{\mathrm{min}}<F_{\mathrm{min}2}$ összefüggés, ezért ténylegesen lehetséges az imént bemutatott szituáció. Azonban ha a húzóerő nagyobb $F_{\mathrm{min}2}$-nél, akkor a deszka kicsúszik a teher alól. $$F_{\mathrm{min}2}=22,5\,\mathrm{N}$$ | <wlatex>#: Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az a maximális erő, melyre még éppen a deszka sem és a teher sem mozdulnak meg. A megoldás során a deszkára ható erők vessző nélküliek, míg a teherre ható erőket vesszővel jelöljük. <br><br> A teherre vonatkozó mozgásegyenletek $$\mbox{függőleges}\qquad N'=F_{g}'=m'g\,.$$ A deszkára vonatkozó mozgásegyenletek $$\mbox{függőleges}\qquad N=F_{g}+G\qquad\qquad\mbox{vízszintes}\qquad F=T\,.$$ Newton III. törvénye miatt $N'=G$, így $N=(m+m')g$. A tapadási erő az alábbi összefüggésben van a nyomóerővel. $$\mu N\geq T$$ $$\mu(m+m')g\geq F$$ Tehát ha az erő kisebb, mint $F_{min}=\mu(m+m')g$, akkor se a deszka, se a teher nem mozdulnak meg. Nagyobb erők esetén azonban már a deszka elkezd csúszni az asztalon. <br><br> Tegyük fel egyelőre, hogy a teher még nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. A testekre vonatkozó függőleges irányú mozgásegyenletek megegyeznek a korábbiakkal, a vízszintes irányúak azonban $$m'a=T'$$ $$ma=F-T'-S$$ szerint írhatóak fel, ahol $S=\mu N$. A gyorsulás az elsőegyenlet alapján $a=T'/m'$. Ezzel behelyettesítve a második egyenletbe $$T'\frac{m}{m'}=F-T'-\mu(m+m')g\qquad\Rightarrow\qquad T'=\frac{Fm'}{m+m'}-\mu m'g$$ a tapadási erő kifejezhető, amely a deszka és a teher közti nyomóerővel az alábbi kapcsolatban van. $$T'\leq\mu'N'$$ $$F\leq(m+m')(\mu+\mu')g$$ Tehát ha a húzóerő kisebb, mint $F_{\mathrm{min}2}=(m+m')(\mu+\mu')g$, akkor a teher nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. Az eddig meghatározott két erőre fennáll az $F_{\mathrm{min}}<F_{\mathrm{min}2}$ összefüggés, ezért ténylegesen lehetséges az imént bemutatott szituáció. Azonban ha a húzóerő nagyobb $F_{\mathrm{min}2}$-nél, akkor a deszka kicsúszik a teher alól. $$F_{\mathrm{min}2}=22,5\,\mathrm{N}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:23-kori változata
Feladat
- (*2.1.16) Egy asztalon
tömegű deszka, a deszkán 
tömegű teher fekszik. Mekkora vízszintes irányú 
erővel kell hatni a deszkára, hogy az a teher alól kicsússzon? A teher és a deszka közötti tapadási-súrlódási együttható 
, a deszka és az asztal közötti tapadási-súrlódási együttható pedig 
.
Megoldás
- Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az a maximális erő, melyre még éppen a deszka sem és a teher sem mozdulnak meg. A megoldás során a deszkára ható erők vessző nélküliek, míg a teherre ható erőket vesszővel jelöljük.
A teherre vonatkozó mozgásegyenletekA deszkára vonatkozó mozgásegyenletek![\[\mbox{függőleges}\qquad N'=F_{g}'=m'g\,.\]](/images/math/6/d/2/6d2c0aab52c799f45572394ce0475a84.png)
Newton III. törvénye miatt![\[\mbox{függőleges}\qquad N=F_{g}+G\qquad\qquad\mbox{vízszintes}\qquad F=T\,.\]](/images/math/9/c/c/9cc896e60f12dc5910cfe372e18c7444.png)
, így 
. A tapadási erő az alábbi összefüggésben van a nyomóerővel. ![\[\mu N\geq T\]](/images/math/8/a/2/8a25d1ed296e9f397028dee6a797e9dc.png)
Tehát ha az erő kisebb, mint![\[\mu(m+m')g\geq F\]](/images/math/c/1/9/c19892eabd34e544369a16d401c4f37a.png)
, akkor se a deszka, se a teher nem mozdulnak meg. Nagyobb erők esetén azonban már a deszka elkezd csúszni az asztalon.
Tegyük fel egyelőre, hogy a teher még nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. A testekre vonatkozó függőleges irányú mozgásegyenletek megegyeznek a korábbiakkal, a vízszintes irányúak azonban![\[m'a=T'\]](/images/math/1/7/e/17ec273a8dba1f83dd339d39d31b5fff.png)
szerint írhatóak fel, ahol![\[ma=F-T'-S\]](/images/math/1/5/d/15d486e291131c9c93d50d71a3f9f535.png)
. A gyorsulás az elsőegyenlet alapján 
. Ezzel behelyettesítve a második egyenletbe a tapadási erő kifejezhető, amely a deszka és a teher közti nyomóerővel az alábbi kapcsolatban van.![\[T'\frac{m}{m'}=F-T'-\mu(m+m')g\qquad\Rightarrow\qquad T'=\frac{Fm'}{m+m'}-\mu m'g\]](/images/math/2/0/d/20dc8b60f728b09e545707b52c8f2430.png)
![\[T'\leq\mu'N'\]](/images/math/2/b/4/2b4510947b3acd9580b7c260c0e684c2.png)
Tehát ha a húzóerő kisebb, mint![\[F\leq(m+m')(\mu+\mu')g\]](/images/math/1/8/8/1887bf2f57ab92b8c1786a2829ae0c58.png)
, akkor a teher nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. Az eddig meghatározott két erőre fennáll az 
összefüggés, ezért ténylegesen lehetséges az imént bemutatott szituáció. Azonban ha a húzóerő nagyobb 
-nél, akkor a deszka kicsúszik a teher alól. ![\[F_{\mathrm{min}2}=22,5\,\mathrm{N}\]](/images/math/7/4/9/7491b547c455ab3e6c5d9b11503100b9.png)
- Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az a maximális erő, melyre még éppen a deszka sem és a teher sem mozdulnak meg. A megoldás során a deszkára ható erők vessző nélküliek, míg a teherre ható erőket vesszővel jelöljük.
