„Erőtan I. - 2.1.14” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=45^\circ$, $m=4\,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. | + | </noinclude><wlatex># ÁBRAM Egy $\alpha$ hajlásszögű lejtő tetejéről a $t=0$ időpontban elengedünk egy $m$ tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan $F(t)=kt$ nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : $\alpha=45^\circ$, $m=4\,\mathrm{kg}$, $k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$, $\mu=0,5$, $g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. |
#: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | #: a) Mekkora a test gyorsulása a $t=0$ időpontban? | ||
#: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | #: b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? | ||
16. sor: | 16. sor: | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozd meg a testre ható erők közti összefüggéseket a Newton törvények segítségével!}}{{Végeredmény|content= a) $a(0)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> b) $t_{e}=9,81\,\mathrm{s}$ <br> c) $t_{s}=19,62\,\mathrm{s}$ <br> d) $a(t_{s})=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$ <br> e) $a'(0)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az | + | <wlatex>#: a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges $F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$ és egy a lejtővel párhuzamos $F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$ komponensre. |
ÁBRA | ÁBRA | ||
A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért $$N=F_{g1}\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. $$ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,$$ ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: $S=\mu N$. $$ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt$$ A kezdeti $t=0$ időpillanatban $a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. <br><br> Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a $t_{e}$ időpontban történik meg, amikor $a(t_{e})=0$. Ebből $$t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.$$ | A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért $$N=F_{g1}\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak. $$ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,$$ ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: $S=\mu N$. $$ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt$$ A kezdeti $t=0$ időpillanatban $a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. <br><br> Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a $t_{e}$ időpontban történik meg, amikor $a(t_{e})=0$. Ebből $$t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.$$ | ||
#: c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. $$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'$$ A kezdeti sebesség 0, így $$v(t)=gt\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-\frac{k}{2m}t^{2}\,.$$ A test abban a $t_{s}$ időpillanatban áll meg, amikor $v(t_{s})=0$. Ebből az egyenletből a $t_{s}=0$ is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is $0$ volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes. $$t_{s}=\frac{2mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=19,62\,\mathrm{s}\,.$$ | #: c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. $$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'$$ A kezdeti sebesség 0, így $$v(t)=gt\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-\frac{k}{2m}t^{2}\,.$$ A test abban a $t_{s}$ időpillanatban áll meg, amikor $v(t_{s})=0$. Ebből az egyenletből a $t_{s}=0$ is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is $0$ volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes. $$t_{s}=\frac{2mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=19,62\,\mathrm{s}\,.$$ | ||
#: d) A megállás pillanatában a gyorsulás $$a(t_{s})=-g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ éppen $-1$-szerese a kezdeti gyorsulásnak. | #: d) A megállás pillanatában a gyorsulás $$a(t_{s})=-g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ éppen $-1$-szerese a kezdeti gyorsulásnak. | ||
− | #: e) Ha | + | #: e) Ha megtoljuk a lejtőt, akkor a lejtőhöz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. $$N=F_{g}\cos\alpha-F_{t}\sin\alpha=mg\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban $$ma'(0)=F_{g}\sin\alpha-\mu N+F_{t}\cos\alpha=mg\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)$$ $$a'(0)=g\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ a test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az $a_{0}$ gyorsulást. |
− | + | ||
− | A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. $$N=F_{g}\cos\alpha-F_{t}\sin\alpha=mg\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)\,.$$ A lejtővel párhuzamos irányban $$ma'(0)=F_{g}\sin\alpha-\mu N+F_{t}\cos\alpha=mg\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)$$ $$a'(0)=g\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ a test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az $a_{0}$ gyorsulást. | + | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 22., 17:17-kori változata
Feladat
- ÁBRAM Egy
hajlásszögű lejtő tetejéről a
időpontban elengedünk egy
tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan
nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok :
,
,
,
,
.
- a) Mekkora a test gyorsulása a
időpontban?
- b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?
- c) Mikor áll meg a test?
- d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?
- e) Ha a lejtőt
gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a
időpontban?
- a) Mekkora a test gyorsulása a
Megoldás
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges
és egy a lejtővel párhuzamos
komponensre.
- a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges
ÁBRA
A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért![\[N=F_{g1}\,.\]](/images/math/1/f/0/1f04cdff3fa3b9ef4f8edfb3e5bf538b.png)
![\[ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,\]](/images/math/6/3/7/637e11b93c4d6158bdb506e7e765d3a0.png)
![\setbox0\hbox{$S=\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/f/6/3f65903a619d93e144202f0776af2ba2.png)
![\[ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt\]](/images/math/8/0/5/805fac3d4fb483ef0a5d0c2a00ada805.png)
![\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/f/8/3f88d644e07e5f3c6d89b70820e25986.png)
![\setbox0\hbox{$a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/4/a/44af327c91e7bbbda08424f43cf3173d.png)
Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a
![\setbox0\hbox{$t_{e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/d/e/c/dec4906e7f8f319f52f7307bc3933562.png)
![\setbox0\hbox{$a(t_{e})=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/5/f/35fd38273500bfb0f7605977236fae88.png)
![\[t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.\]](/images/math/2/1/3/2132fec809119a28ee332507f2090048.png)
- c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. A kezdeti sebesség 0, ígyA test abban a
időpillanatban áll meg, amikor
. Ebből az egyenletből a
is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is
volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes.
- d) A megállás pillanatában a gyorsulás éppen
-szerese a kezdeti gyorsulásnak.
- e) Ha megtoljuk a lejtőt, akkor a lejtőhöz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. A lejtővel párhuzamos iránybana test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az
gyorsulást.
- c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki.