„Integrálás - Forgástest” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 9. sor: | 9. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen $h = 0.1 \, m \, ,$ a tányér sugara pedig $R = 0.5 \, m \, .$ | </noinclude><wlatex># Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen $h = 0.1 \, m \, ,$ a tányér sugara pedig $R = 0.5 \, m \, .$ | ||
#: a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban? | #: a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban? | ||
| − | #: b) Mekkora a tányér (belső) felülete? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$V = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3 = 39 | + | #: b) Mekkora a tányér (belső) felülete? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$V = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3 = 39.3 l $$ b) $$ S = \frac{4 \pi R}{3 \sqrt{h}} \left[ \left( h + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} - \left( \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right] = 0.816 m^2 $$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
A lap jelenlegi, 2014. szeptember 12., 19:49-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Integrálás |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen
a tányér sugara pedig 
- a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban?
- b) Mekkora a tányér (belső) felülete?
Megoldás
- a) A parabola-tányér egy forgástest. Legyen a szimmetriatengely az
tengely, a tányért úgy nyerjük, ha az 
függvényt megforgatjuk az tengely körül. Az 
paramétert még meg kell határoznunk. Tudjuk, hogy az 
magasságnál a tányér sugara 
, azaz
-
![\[a \sqrt{h} = R \quad \Rightarrow \quad a = \frac{R}{\sqrt{h}} \, .\]](/images/math/e/b/2/eb2aa7ca09e788a2d97c4b9a4e55fd3f.png)
- Tehát az
függvényt kell megforgatnunk. A tányér térfogata:
-
![\[ V = \int_{0}^{h} y(x)^2 \pi \,dx = \frac{R^2 \pi}{h} \int_0^h x \, dx = \frac{R^2 \pi}{h} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^h = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3\]](/images/math/9/3/2/9327d7d554449cb2db6f2d7c6a2e88fd.png)
- b) A tányér felszínét az alábbi integrállal tudjuk meghatározni:
-
![\[ S = \int_0^h 2 \pi y(x) \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \int_0^h \sqrt{x + \frac{R^2}{4 h}} \, dx = \]](/images/math/3/5/9/359b0b60871af78a067c9351a396ac6e.png)
-
![\[ = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \left[ \frac{2}{3} \left( x + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right]_0^h = \frac{4 \pi R}{3 \sqrt{h}} \left[ \left( h + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} - \left( \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right] = 0.816 m^2 \]](/images/math/f/5/7/f576bdca19cbe3997cd0ca4b17276b20.png)
- a) A parabola-tányér egy forgástest. Legyen a szimmetriatengely az
