„Kinematika - Ferde hajítás” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(\) |
|||
| 9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$) | </noinclude><wlatex># Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$) | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha) = 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)} = 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$ | <wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$ | ||
A lap jelenlegi, 2014. szeptember 23., 20:10-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel
-os szöget bezáróan, 
sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?(
)
Megoldás
- A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó,
![\[\vec{a} = (0,-g) \; .\]](/images/math/1/b/d/1bde19456b81fac35a04499b961fdf85.png)
Tudjuk, hogy 
időpontban a test sebességvektora 
, ennek ismeretében a gyorsulás integrálásával,
majd a kezdeti sebesség illesztésével megkapjuk a sebesség-idő függvényt:
![\[\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - g t )\]](/images/math/4/7/f/47f8e6cf6878e631640c15d760b63619.png)
Ismételt integrálással, kihasználva, hogy az origót a kilövés helyén vettük fel, a test helyvektora:
![\[\vec{r}(t) = (v_0 \cos(\alpha) t, v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g}{2} t^2) \]](/images/math/d/9/2/d9244cd6bb33fdc199e22e3aed262879.png)
Akkor csapódik a test a földbe, amikor 
lesz ismét:
![\[v_0 \sin(\alpha) t_{cs} - \frac{g}{2} t_{cs}^2 = 0 \]](/images/math/9/5/0/950bc31e77767890df74d251a63c3377.png)
megoldás a kilövés pillanatát jelzi. Nekünk a másik kell, ami ![\[t_{cs} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}\]](/images/math/e/c/a/eca82f151e4d38fe7d2100287d01d8c2.png)
A becsapódás távolságát úgy nyerjük, hogy ezt beírjuk az 
kifejezésbe:
![\[d = v_0 \cos(\alpha) t_{cs} = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}\]](/images/math/5/9/4/594b2e7effe58f7fdb7cd752608b9aa3.png)
A maximális magasságot ott éri el a test, ahol 
, azaz
![\[v_0 \sin(\alpha) - g t_{max} = 0 \; ,\]](/images/math/d/b/0/db0ea80b5004fde71805c1f60262d93c.png)
amiből
![\[t_{max} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \; .\]](/images/math/2/3/2/23214cd058fd5b57712b8cef7e8e9be3.png)
Beírva ezt az 
függvénybe nyerjük a maximális magasságot:
![\[h = y(t_{max}) = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2 g}\]](/images/math/f/f/d/ffd8d8af517858c6141275ba0bfc3ffc.png)
A kilövési pontban a sebesség nagysága 
, a gyorsulásnak az erre merőleges komponense 
, ebből a görbületi sugár:
![\[R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)}\]](/images/math/b/5/f/b5f7fd2020b488b2d55affc04f653eb2.png)
A tetőponton a sebesség nagysága 
, a gyorsulás pedig éppen merőleges rá. Ezért a görbületi sugár:
![\[R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g}\]](/images/math/3/4/e/34ea5205259b2461ecf6cf16837b30f1.png)
