„Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| (egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 16. sor: | 16. sor: | ||
#: e.) Mekkora amplitudójú rezgést végez a megmaradt test? | #: e.) Mekkora amplitudójú rezgést végez a megmaradt test? | ||
#: f.) Adjuk meg a rezgés kitérés-idő függvényét! | #: f.) Adjuk meg a rezgés kitérés-idő függvényét! | ||
| − | [[ | + | #: [[Kép:rugo_levag.svg|none|130px]] </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= Lásd a teljes megoldást.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>#: A | + | <wlatex>#: a.) Mivel a feladat nem kérdezi a fonal-erőt, ezért egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a rugóra egy $2m$ tömegű test van rákötve. Ez mindaddig helyes, amíg a fonal esetleg meg nem lazul. A rugó egyensúlyi megnyúlása $$x_{e,0} = \frac{2 m g}{D} \; .$$ |
| + | #: b.) Mindaddig, amíg a fonal feszes marad (nem túl nagy amplitudójú rezgés), tekinthetjük úgy, hogy egy $2m$ tömegű test mozog. A mozgásegyenlete $$ 2m \ddot{x} = 2m g - D x \, .$$ Érdemes áttérni az $y = x - x_{e,0}$ koordinátára. Ezt behelyettesítve $$2 m \ddot{y} = - D y \; .$$ Láthatóan egy konstans erővel terhelt harmonikus oszcillátor ismét egy harmonikus oszcillátor, csak az egyensúlyi helyzete eltolódik. A rezgés körfrekvenciája $\omega = \sqrt{\frac{D}{2m}}$. (Azt, hogy ez hogy jön ki, a d.) feladat megoldása alapján itt is meg lehet csinálni.) | ||
| + | #: c.) Levágva az alsó tömeget, az új egyensúlyi helyzet $x_{e,1} = \frac{m g}{D}$. | ||
| + | #: d.) Bevezetve a $z = x - x_{e,1}$ koordinátát a mozgásegyenlet: $$m \ddot{z} = - D z \; .$$ Ennek az egyenletnek az általános megoldása $$z(t) = A \sin (\omega t + \varphi) \, .$$ Helyettesítsük be az általános megoldást! $$- m A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) = - D A \sin (\omega t + \varphi) \, .$$ Láthatóan oszthatunk $A \sin()$-al, amit kapunk: $$m \omega^2 = D$$, ebből $\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}$. | ||
| + | #: e.) Az $A$ és $\varphi$ paramétereket a kezdeti feltételek illesztésével nyerhetjük. A kezdőpillanatban a testünk a régi egyensúlyi helyen volt, azaz $x(0) = x_{e,0}$. Ebből a kezdeti $z$ koordináta $z(0) = x_{e,0} - x_{e,1} = \frac{m g}{D}$. A kezdeti sebesség $\dot{z}(0) = 0$ Ezeket az egyenleteket felírva az általános megoldással: $$A \sin(\varphi) = z(0) = \frac{m g}{D}$$ $$A \omega \cos(\varphi) = 0 \; .$$ A második egyenletből $\cos(\varphi) = 0$, azaz $\varphi = \pi /2$ megfelelő. Ezt beírva az elsőbe $A \sin(\pi/2) = \frac{m g}{D}$, azaz $A = \frac{m g}{D}$. | ||
| + | #: f.) $$z(t) = \frac{m g}{D} \sin(\omega t + \pi/2) = \frac{m g}{D} \cos(\omega t)$$</wlatex></noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. október 14., 18:38-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Erőtan I. |
Feladatok listája:
|
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy
direkciós erejű rugó egyik végét a plafonhoz rögzítettük, másik végére pedig 
tömegű testet kötöttünk, amihez egy további fonalállal egy másik, szintén tömegű testet kötöttünk.
- a.) Mekkora a rugó megnyúlása egyensúlyi helyzetben?
- b.) Kicsit kitérítve az egyensúlyi helyzetből, mekkora lesz a kialakuló rezgés körfrekvenciája?
- Legyen ismét egyensúlyban a rendszer. Ekkor elvágjuk a fonalat.
- c.) Hol lesz az a rendszer új egyensúlyi helyzete?
- d.) Mekkora lesz az új körfrekvencia?
- e.) Mekkora amplitudójú rezgést végez a megmaradt test?
- f.) Adjuk meg a rezgés kitérés-idő függvényét!
-
Megoldás
- a.) Mivel a feladat nem kérdezi a fonal-erőt, ezért egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a rugóra egy
tömegű test van rákötve. Ez mindaddig helyes, amíg a fonal esetleg meg nem lazul. A rugó egyensúlyi megnyúlása ![\[x_{e,0} = \frac{2 m g}{D} \; .\]](/images/math/9/2/d/92d47aefe94ae638fa6cdfefe0d04ea5.png)
- b.) Mindaddig, amíg a fonal feszes marad (nem túl nagy amplitudójú rezgés), tekinthetjük úgy, hogy egy tömegű test mozog. A mozgásegyenlete Érdemes áttérni az
![\[ 2m \ddot{x} = 2m g - D x \, .\]](/images/math/1/4/5/145c1727b862622ffe217f9203eed282.png)
koordinátára. Ezt behelyettesítve Láthatóan egy konstans erővel terhelt harmonikus oszcillátor ismét egy harmonikus oszcillátor, csak az egyensúlyi helyzete eltolódik. A rezgés körfrekvenciája![\[2 m \ddot{y} = - D y \; .\]](/images/math/f/0/8/f08d7444ec55b15a68de67c6ab5fdf39.png)
. (Azt, hogy ez hogy jön ki, a d.) feladat megoldása alapján itt is meg lehet csinálni.)
- c.) Levágva az alsó tömeget, az új egyensúlyi helyzet
.
- d.) Bevezetve a
koordinátát a mozgásegyenlet: Ennek az egyenletnek az általános megoldása![\[m \ddot{z} = - D z \; .\]](/images/math/d/0/9/d0946869af3a7660a625dd6852227fd0.png)
Helyettesítsük be az általános megoldást!![\[z(t) = A \sin (\omega t + \varphi) \, .\]](/images/math/f/e/9/fe93c1dd541a275856bb3b21ed48d574.png)
Láthatóan oszthatunk![\[- m A \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) = - D A \sin (\omega t + \varphi) \, .\]](/images/math/7/5/a/75af9823987d50f85a78b76ad25aba23.png)
-al, amit kapunk: , ebből![\[m \omega^2 = D\]](/images/math/d/d/e/dded9dda728292c50fdd6db4f460bfda.png)
.
- e.) Az
és 
paramétereket a kezdeti feltételek illesztésével nyerhetjük. A kezdőpillanatban a testünk a régi egyensúlyi helyen volt, azaz 
. Ebből a kezdeti 
koordináta 
. A kezdeti sebesség 
Ezeket az egyenleteket felírva az általános megoldással: ![\[A \sin(\varphi) = z(0) = \frac{m g}{D}\]](/images/math/b/a/d/bad7ab67baa6b2e5390aa6e83e0ebf36.png)
A második egyenletből![\[A \omega \cos(\varphi) = 0 \; .\]](/images/math/2/6/9/269ea784120bfa90ee9241f20a3bc23d.png)
, azaz 
megfelelő. Ezt beírva az elsőbe 
, azaz 
.
- f.)
![\[z(t) = \frac{m g}{D} \sin(\omega t + \pi/2) = \frac{m g}{D} \cos(\omega t)\]](/images/math/1/f/0/1f01b2356a7d4323fcdfe60ebf0b7da6.png)
- a.) Mivel a feladat nem kérdezi a fonal-erőt, ezért egyszerűen azt mondhatjuk, hogy a rugóra egy
