„Kinematika - 1.2.17” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám Kategória:Kinematika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)
 
(→‎Feladat)
 
(2 szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
2. sor: 2. sor:
 
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
 
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
 
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
 
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
−
[[Kategória:Kinematika]]
+
[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
−
| témakör    = Kinematika
+
| témakör    = Mechanika - Mozgástan
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># (1.2.6.) Egy testet függőleges irányban $50\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ sebességgel feldobunk. Milyen magasra emelkedik $3 \,\mathrm{s}$ alatt? Mekkora a legnagyobb magasság, amit elér? Mennyi ideig emelkedik felfelé? Mennyi idő múlva esik vissza a földre? ($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)
+
</noinclude><wlatex># (**1.2.17, csak csemegének) Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)
−
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$t_{km}=\frac{29}{30}\,\mathrm{s}$$$$t_{mv}=\frac{29}{32}\,\mathrm{s}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 +
 
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex># A füttyjel hosszúsága az levegőben $$L=(c-v_{1})t,$$ amennyiben nem fúj a szél. Egy külső, levegőhöz képest álló megfigyelő pontosan annyi ideig hallja a füttyjelet, amíg a hang megteszi az $L$ távolságot, vagyis $$t_{km}=\frac{L}{c}=\frac{c-v_{1}}{c}t=\frac{29}{30}\,\mathrm{s}.$$ A másik vonaton ülő megfigyelő $$t_{mv}=\frac{L}{c+v_{2}}=\frac{c-v_{1}}{c+v_{2}}t=\frac{29}{32}\,\mathrm{s}.$$</wlatex>
+
<wlatex># A fonál hosszúsága az idő függvényében $$l(t)=l_{0}+ct\,,$$ mert a manó egyenletes sebességgel húzza. <br> Ha a hangya faltól mért távolságát $x(t)$-vel jelöljük, akkor egy adott $t$ pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége $$v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.$$ A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig $v_{0}$, ezért a falhoz viszonyított sebesség $$v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)$$$$x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.$$ A kapott differenciálegyenletet az $x(0)=0$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)$$ alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel). <br> A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti $\Delta s(t)=l(t)-x(t)$ távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük $T$-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. $$\Delta s(T)=0$$ $$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben utoléri a manót. <br><br> Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége $$v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.$$$$x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,$$ amelyet az $x(0)=l_{0}$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]$$ alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan $T$, melyre $$x(T)=0\,.$$$$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben eléri a falat.
 +
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:16-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (**1.2.17, csak csemegének) Egy \setbox0\hbox{$l_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva \setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó \setbox0\hbox{$c>>v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)

Megoldás

  1. A fonál hosszúsága az idő függvényében
    \[l(t)=l_{0}+ct\,,\]
    mert a manó egyenletes sebességgel húzza.
    Ha a hangya faltól mért távolságát \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel jelöljük, akkor egy adott \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége
    \[v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.\]
    A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig \setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezért a falhoz viszonyított sebesség
    \[v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)\]
    \[x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.\]
    A kapott differenciálegyenletet az \setbox0\hbox{$x(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
    \[x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)\]
    alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel).
    A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti \setbox0\hbox{$\Delta s(t)=l(t)-x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik.
    \[\Delta s(T)=0\]
    \[T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)\]
    A hangya tehát minden esetben utoléri a manót.

    Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége
    \[v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.\]
    \[x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,\]
    amelyet az \setbox0\hbox{$x(0)=l_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
    \[x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]\]
    alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, melyre
    \[x(T)=0\,.\]
    \[T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)\]
    A hangya tehát minden esetben eléri a falat.
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kinematika_-_1.2.17&oldid=13807”