„Kinematika - 1.2.17” változatai közötti eltérés

[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]

| témakör    = Mechanika - Mozgástan

</noinclude><wlatex># (**1.2.17, csak csemegének) Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)

<wlatex># A fonál hosszúsága az idő függvényében $$l(t)=l_{0}+ct\,,$$ mert a manó egyenletes sebességgel húzza. <br> Ha a hangya faltól mért távolságát $x(t)$-vel jelöljük, akkor egy adott $t$ pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége $$v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.$$ A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig $v_{0}$, ezért a falhoz viszonyított sebesség $$v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)$$$$x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.$$ A kapott differenciálegyenletet az $x(0)=0$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)$$ alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel). <br> A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti $\Delta s(t)=l(t)-x(t)$ távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük $T$-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. $$\Delta s(T)=0$$ $$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben utoléri a manót. <br><br> Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége $$v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.$$$$x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,$$ amelyet az $x(0)=l_{0}$ kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás $$x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]$$ alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan $T$, melyre $$x(T)=0\,.$$$$T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)$$ A hangya tehát minden esetben eléri a falat.