„Kinematika - 1.4.6” változatai közötti eltérés

[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]

| témakör    = Mechanika - Mozgástan

</noinclude><wlatex># (1.4.6) Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: $x=at^{2}$, $y=0$ és $z=b-ct^{2}$. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: $a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$, $b=4 \,\mathrm{m}$ és $c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$.

</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A pálya meghatározásához fejezd ki az időt valamely helykoordináta segítségével! A gyorsulás kiszámításához deriváld le kétszer a helyvektort az idő szerint!}}{{Végeredmény|content=$$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$$$T=\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

<wlatex># A tömegpont $y$-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az $xz$-síkban halad. Az $x=at^2$ és $z=b-ct^{2}$ egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját $$z=b-\frac{c}{a}x\,,$$ amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki. $$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ A gyorsulás pedig $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$ <br> Az $x$-tengelynél a $t=0$ pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a $z$-tengelyt, vagyis mikor lesz $z=0$. $$z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s$$