„Kinematika - 1.4.18” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| (2 szerkesztő 11 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># (1.4.18) Egy vékony egyenes cső $0$ pontja körül állandó $\omega$ szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó $v_{0}$ sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebesség nagysága, mint az idő függvénye?[[Kép:Kfgy1_01_1.4.18jo.svg|none|250px]] |
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használj polárkoordinátákat!}}{{Végeredmény|content=$$x(t)=r(t)\cos\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$$$ | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használj polárkoordinátákat!}}{{Végeredmény|content=$$x(t)=r(t)\cos\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$$$y(t)=r(t)\sin\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)$$$$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=v_{0}\,\mathrm{sgn}(v_{0}t-r_{0})\cos(\omega t)-\omega|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)$$ $$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=v_{0}\mathrm{sgn}\,(v_{0}t-r_{0})\sin(\omega t)+\omega|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>#: Tegyük fel, hogy a golyó a $t=0$ időpillanatban $r_{0}$ távolságban van az origótól és cső éppen vízszintes helyzetben, vagyis $\varphi_{0}$ és $\varphi(t)=\omega t$. A golyó mozgását először polár koordináták segítségével írjuk fel. $$r(t)=|r_{0}-v_{0}t|\qquad\qquad\varphi(t)=\omega t$$ Az abszolút értékkel figyelembe vettük azt az esetet is, amikor a golyó már áthaladt az origón. A | + | <wlatex>#: Tegyük fel, hogy a golyó a $t=0$ időpillanatban $r_{0}$ távolságban van az origótól és cső éppen vízszintes helyzetben, vagyis $\varphi_{0}=0$ és $\varphi(t)=\omega t$. A golyó mozgását először polár koordináták segítségével írjuk fel. $$r(t)=|r_{0}-v_{0}t|\qquad\qquad\varphi(t)=\omega t$$ Az abszolút értékkel figyelembe vettük azt az esetet is, amikor a golyó már áthaladt az origón. A sugár és tangenciális irányú sebességeket $$v_{r}(t)=\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}=v_{0}\mathrm{sgn}(r_{0}-v_{0}t)$$$$v_{\varphi}(t)=r(t)\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=|r_{0}-v_{0}t|\omega$$ szerint számolhatjuk ki. A képletben $\mathrm{sgn}(x)$ a szignumfüggvény. A sebesség nagysága $$v(t)=\sqrt{v_{r}(t)^2+v_{\varphi}(t)^2}=\sqrt{v_{0}^{2}+\omega^{2}(r_{0}-v_{0}t)^2}$$ az idő függvényében. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 25., 14:19-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (1.4.18) Egy vékony egyenes cső
pontja körül állandó 
szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó 
sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebesség nagysága, mint az idő függvénye?
Megoldás
- Tegyük fel, hogy a golyó a
időpillanatban 
távolságban van az origótól és cső éppen vízszintes helyzetben, vagyis 
és 
. A golyó mozgását először polár koordináták segítségével írjuk fel. Az abszolút értékkel figyelembe vettük azt az esetet is, amikor a golyó már áthaladt az origón. A sugár és tangenciális irányú sebességeket![\[r(t)=|r_{0}-v_{0}t|\qquad\qquad\varphi(t)=\omega t\]](/images/math/2/f/3/2f311354494291e9ad9447a287e5a442.png)
![\[v_{r}(t)=\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}=v_{0}\mathrm{sgn}(r_{0}-v_{0}t)\]](/images/math/f/5/4/f549a1e0e8ae780a1bc90adf1a436ab7.png)
szerint számolhatjuk ki. A képletben![\[v_{\varphi}(t)=r(t)\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=|r_{0}-v_{0}t|\omega\]](/images/math/4/b/9/4b93ac9801674276487f00be69e2cc1c.png)
a szignumfüggvény. A sebesség nagysága az idő függvényében.![\[v(t)=\sqrt{v_{r}(t)^2+v_{\varphi}(t)^2}=\sqrt{v_{0}^{2}+\omega^{2}(r_{0}-v_{0}t)^2}\]](/images/math/9/8/3/983b53b83ad823295836cc65344e3e10.png)
- Tegyük fel, hogy a golyó a
