„Integrálás - Területszámítás” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Megoldás) |
(→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg az $ f_1 (x) = cos x $ és az $ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$ | + | </noinclude><wlatex># Határozzuk meg az $ f_1 (x) = \cos x $ és az $ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$ függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$T=2sin(1) - \frac{\pi}2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>A keresett területet a $$T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| $$ képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így $T=T_1-T_2$. Másrészt az $f_2$ görbe egy egység sugarú félkör, tehát $T_2=\pi/2$-t kell kapjunk. | <wlatex>A keresett területet a $$T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| $$ képlettel határozhatjuk meg. Mivel a függvények párosak, elegendő a [0,1] intervallumon vett területet nézni, illetve külön vizsgálhatjuk a két függvény alatti területeket, így $T=T_1-T_2$. Másrészt az $f_2$ görbe egy egység sugarú félkör, tehát $T_2=\pi/2$-t kell kapjunk. | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 5., 11:01-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Integrálás |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Határozzuk meg az
és az 
függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!
Megoldás
A keresett területet a![\[T =\left| \int\limits _{-1} ^1 (f_1 (x) - f_2 (x)) dx \right| \]](/images/math/9/e/e/9ee889213a6b6e5c80d02ead6a903cd5.png)
. Másrészt az 
görbe egy egység sugarú félkör, tehát 
-t kell kapjunk.
Az 1. függvény primitívfüggvénye 
, így 
. 
meghatározásához végezzük el az 
helyettesítést: ![\[f_2 (y) = \sqrt{1- \cos^2 y} = |\sin y |,\]](/images/math/5/e/6/5e6ddf870f71754aec4897a3a3493eb1.png)
intervallumon integrálunk, akkor 
, továbbá ![\[\frac {dx}{dy} = -\sin y,\]](/images/math/4/d/3/4d39cd8cb014d7fd1cfdc44d4a2519cf.png)
![\[dx= -\sin y dy ,\]](/images/math/7/d/9/7d9bf718793591854798c78556e9857f.png)
-nál 
és 
-nél 
, ezzel ![\[\int\limits_ { x = 0} ^{ x = 1 } f_2 (x) dx = -\int\limits_ {y = \frac{ \pi}{2} } ^{ y = 0} \sin^2 y dy = \int\limits_ { \frac{ \pi}{2}} ^0 \left(\frac{\cos 2 y - 1}{2} \right) dy = \left[ \frac{\sin2y}{4} - \frac{y}{2} \right] _{ \frac{ \pi}{2}} ^0=0 + \frac { \pi }{4},\]](/images/math/8/a/4/8a446723658d6537aeac7a1decb7df27.png)
. Végül a keresett terület ![\[T=2sin(1)-\frac{\pi}{2}\]](/images/math/4/8/c/48cf96de041ae005286cac93dbc7f5ca.png)
