„Kinematika - 1.4.18” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Egy vékony egyenes cső $0$ pontja körül állandó $\omega$ szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó $v_{0}$ sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebessége, mint az idő függvénye?[[Kép:Kfgy1_01_1.4.18jo.svg|none|250px]] | </noinclude><wlatex># Egy vékony egyenes cső $0$ pontja körül állandó $\omega$ szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó $v_{0}$ sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebessége, mint az idő függvénye?[[Kép:Kfgy1_01_1.4.18jo.svg|none|250px]] | ||
| − | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használj polárkoordinátákat!}}{{Végeredmény|content=$$x(t)=r(t)\cos\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$$$ | + | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használj polárkoordinátákat!}}{{Végeredmény|content=$$x(t)=r(t)\cos\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$$$y(t)=r(t)\sin\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)$$$$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=v_{0}\,\mathrm{sgn}(v_{0}t-r_{0})\cos(\omega t)-\omega|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)$$ $$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}=v_{0}\mathrm{sgn}\,(v_{0}t-r_{0})\sin(\omega t)+\omega|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
A lap 2013. augusztus 27., 13:41-kori változata
| [rejt] Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy vékony egyenes cső
pontja körül állandó 
szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó 
sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebessége, mint az idő függvénye?
Megoldás
- Tegyük fel, hogy a golyó a
időpillanatban 
távolságban van az origótól és cső éppen vízszintes helyzetben, vagyis 
és 
. A golyó mozgását először polár koordináták segítségével írjuk fel. Az abszolút értékkel figyelembe vettük azt az esetet is, amikor a golyó már áthaladt az origón. A polár koordináták alapján a Descartes-koordináták a külső megfigyelő rendszerében![\[r(t)=|r_{0}-v_{0}t|\qquad\qquad\varphi(t)=\omega t\]](/images/math/2/f/3/2f311354494291e9ad9447a287e5a442.png)
![\[x(t)=r(t)\cos\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)\]](/images/math/1/b/5/1b54f1253d5a11bc70d46623d4bc8d3f.png)
![\[y(t)=r(t)\sin\varphi(t)=|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)\,.\]](/images/math/d/f/2/df2a5c451a8fa06e1eadf2abcd95de5f.png)
- Tegyük fel, hogy a golyó a
![\[v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=v_{0}\,\mathrm{sgn}(v_{0}t-r_{0})\cos(\omega t)-\omega|r_{0}-v_{0}t|\sin(\omega t)\]](/images/math/c/6/8/c68477d3eb2712b303f188963a7ca762.png)
![\[v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=\frac{dx}{dt}=v_{0}\mathrm{sgn}\,(v_{0}t-r_{0})\sin(\omega t)+\omega|r_{0}-v_{0}t|\cos(\omega t)\]](/images/math/2/1/2/212fcea3ace7bbb9c7fc5d82f2bf2aaa.png)
A képletekben 
a szignumfüggvény.
