„Kinematika - 1.4.7” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 17. sor: | 17. sor: | ||
<wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ | <wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ | ||
#: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$ | #: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$ | ||
| − | #: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)=\frac{\omega}{A}\left(x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\right)\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=\frac{\omega}{B}\left(y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\right)$$ változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolás és egy nyújtás kombinációjának felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján $$X(t)=-\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.$$ Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $X(t)$ és $Y(t)$ hordozzák. $$X(t)^2-2X(t)Y(t)\cos\varphi+Y(t)^{2}=\sin^{2}\varphi$$ Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. Hogy pontosabban lássuk, hogy milyen pályáról van szó, vezesük be az $$U(t)=\frac{X(t)+Y(t)}{\sqrt{2}} \qquad \mbox{és} \qquad V(t)=\frac{X(t)-Y(t)}{\sqrt{2}}$$ változókat! Ez a transzformáció egy 45 fokos forgatásnak felel meg. Az új változókkal $$U(t)^2(1-\cos\varphi)+V(t)^{2}(1+\cos\varphi)=\sin^{2}\varphi$$ egy ellipszis | + | #: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)=\frac{\omega}{A}\left(x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\right)\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=\frac{\omega}{B}\left(y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\right)$$ változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolás és egy nyújtás kombinációjának felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján $$X(t)=-\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.$$ Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $X(t)$ és $Y(t)$ hordozzák. $$X(t)^2-2X(t)Y(t)\cos\varphi+Y(t)^{2}=\sin^{2}\varphi$$ Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. Hogy pontosabban lássuk, hogy milyen pályáról van szó, vezesük be az $$U(t)=\frac{X(t)+Y(t)}{\sqrt{2}} \qquad \mbox{és} \qquad V(t)=\frac{X(t)-Y(t)}{\sqrt{2}}$$ változókat! Ez a transzformáció egy 45 fokos forgatásnak felel meg. Az új változókkal az $$U(t)^2(1-\cos\varphi)+V(t)^{2}(1+\cos\varphi)=\sin^{2}\varphi$$ egyenletre jutunk. Érdemes megvizsgálni az egyenletet különböző $\varphi$ értékek esetén. Ha $\sin\varphi=0$ (ez lehetséges $\varphi=n\pi$ esetén, ahol $n$ tetszőleges egész szám), akkor a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. Ha $\cos\varphi=0$ (ez lehetséges $\varphi=n\pi+\pi/2$ esetén), akkor a pálya egyenlete egy körmozgást ír le. A visszatranszformálás során azonban a valódi térbeli mozgásra csak akkor kapunk körmozgást, ha $A=B$. Minden egyéb esetben a test pályája egy ellipszis. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. szeptember 25., 10:03-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (1.4.7) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le:
.
- a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a
időpontban a test az 
koordinátájú pontban tartózkodott!
- b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!
- c) Milyen pályán mozog a test?
- a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a
Megoldás
- a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.
![\[\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}\]](/images/math/f/6/2/f62220f95be66aa4732794d4b5e8a0a2.png)
- b) A gyorsulásvektor
![\[\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.\]](/images/math/2/d/c/2dca3b96182c5367983d7b411e106adf.png)
- c) Vezessük be az
helyvektor komponensei helyett az változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolás és egy nyújtás kombinációjának felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján![\[X(t)=\frac{\omega}{A}\left(x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\right)\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=\frac{\omega}{B}\left(y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\right)\]](/images/math/d/3/1/d31b01ef48662a94fb9e74541ef84848.png)
Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak![\[X(t)=-\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.\]](/images/math/7/b/e/7be0929b7f29b13d808553e3f9be8083.png)
és 
hordozzák. Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. Hogy pontosabban lássuk, hogy milyen pályáról van szó, vezesük be az![\[X(t)^2-2X(t)Y(t)\cos\varphi+Y(t)^{2}=\sin^{2}\varphi\]](/images/math/1/2/b/12b0e8c919c80307d50f6e572f359edf.png)
változókat! Ez a transzformáció egy 45 fokos forgatásnak felel meg. Az új változókkal az![\[U(t)=\frac{X(t)+Y(t)}{\sqrt{2}} \qquad \mbox{és} \qquad V(t)=\frac{X(t)-Y(t)}{\sqrt{2}}\]](/images/math/4/6/1/4616ed890868820441677907fcaa2572.png)
egyenletre jutunk. Érdemes megvizsgálni az egyenletet különböző![\[U(t)^2(1-\cos\varphi)+V(t)^{2}(1+\cos\varphi)=\sin^{2}\varphi\]](/images/math/5/8/5/585b72effa956f3247e901e7980549a8.png)
értékek esetén. Ha 
(ez lehetséges 
esetén, ahol 
tetszőleges egész szám), akkor a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. Ha 
(ez lehetséges 
esetén), akkor a pálya egyenlete egy körmozgást ír le. A visszatranszformálás során azonban a valódi térbeli mozgásra csak akkor kapunk körmozgást, ha 
. Minden egyéb esetben a test pályája egy ellipszis.
- a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.
