„Kinematika - 1.4.7” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
17. sor: | 17. sor: | ||
<wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ | <wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ | ||
#: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$ | #: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$ | ||
− | #: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)= | + | #: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)=x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi$$ változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolásnak felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján $$X(t)=-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\frac{B}{\omega}\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.$$ Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $X(t)$ és $Y(t)$ hordozzák. $$\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2-2\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)\cos\varphi+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=\sin^{2}\varphi$$ Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. A feladatban csak a $\varphi=n\pi/2$ eseteket kell vizsgálni, ahol $n$ egy egész szám. Ha $n$ páros, akkor $\sin\varphi=0$ és $\cos\varphi=(-1)^n$, vagyis a pálya egyenlete $$X^2-2XY+Y^2=0\qquad\mbox{vagy}\qquad X^2+2XY+Y^2=0$$ alakban írható. Tovább alakítva |
+ | $$X=Y\qquad\mbox{vagy}\qquad X=-Y$$ egyenletet kapunk, vagyis a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. <br> Ha $n$ páratlan, akkor $\cos\varphi=0$ és $\sin\varphi$ a $\pm 1$ értékeket veheti fel, mindkét esetben $\sin^{2}\varphi=1$. A pálya egyenlete ekkor $$\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=1$$ alakban írható. Amennyiben $A=B$, az egyenlet egy körmozgást ír le. Egyéb esetekben a test egy ellipszis pályán mozog. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. szeptember 25., 15:08-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Mozgástan |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (1.4.7) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le:
.
- a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a
időpontban a test az
koordinátájú pontban tartózkodott!
- b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!
- c) Milyen pályán mozog a test, ha
valamilyen
egész számmal?
- a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a
Megoldás
- a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.
- b) A gyorsulásvektor
- c) Vezessük be az
helyvektor komponensei helyett az
változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolásnak felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapjánAz egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csakés
hordozzák.
Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. A feladatban csak aeseteket kell vizsgálni, ahol
egy egész szám. Ha
páros, akkor
és
, vagyis a pálya egyenlete
alakban írható. Tovább alakítva
- a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.
![\[X=Y\qquad\mbox{vagy}\qquad X=-Y\]](/images/math/e/b/5/eb5df0155107a4515dead9818891f7ea.png)
Ha
![\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/b/8/cb8d11e1b079192da4432ebf3151770a.png)
![\setbox0\hbox{$\cos\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/f/d/5fd3121ca57b9b161f2ae0bef20eff90.png)
![\setbox0\hbox{$\sin\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/b/4/eb4745824897aeb02609105f77aa977c.png)
![\setbox0\hbox{$\pm 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/d/5/3d56e73b8c95f0e9920e519b2cfb5d6e.png)
![\setbox0\hbox{$\sin^{2}\varphi=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/f/0/ff00e07a83ba4d89023540070b1b53c9.png)
![\[\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=1\]](/images/math/a/e/5/ae5f5084f1dcd266ce3b746416a70b99.png)
![\setbox0\hbox{$A=B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/f/8/cf892ce4b408494d2a418f6152f69873.png)