„Integrálás - Időfüggvények” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 10. sor: | 10. sor: | ||
#: a) Az alábbi határozott integrál a változó felső $v$ határ miatt annak függvénye: $$I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t$$ és egyenlő a $t$ időváltozóval. Határozzuk meg a $v(t)$ függvényt! | #: a) Az alábbi határozott integrál a változó felső $v$ határ miatt annak függvénye: $$I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t$$ és egyenlő a $t$ időváltozóval. Határozzuk meg a $v(t)$ függvényt! | ||
#: b) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\omega$ határ miatt annak függvénye: $$\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)$$ Határozzuk meg az $\omega(t)$ függvényt! | #: b) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\omega$ határ miatt annak függvénye: $$\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)$$ Határozzuk meg az $\omega(t)$ függvényt! | ||
| − | #: c) Az alábbi határozott integrál a változó $h$ határ miatt annak függvénye: $$I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t $$ Határozzuk meg a $h(t)$ függvényt!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)$ b) $\omega (t) = \frac{ \omega _0}{1 - \omega _0 \alpha t}$ c) | + | #: c) Az alábbi határozott integrál a változó $h$ határ miatt annak függvénye: $$I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t $$ Határozzuk meg a $h(t)$ függvényt!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $$v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)$$ b) $$\omega (t) = \frac{ \omega _0}{1 - \omega _0 \alpha t}$$ c) $$h(t) = h_0 + \frac {c^2 t^2 }{4} - c \sqrt { h_0 } \cdot t$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: a) $$t=\left[-\frac{1}{\alpha}\ln\left(1-\alpha v'\right)\right]^{v}_{0}$$ $$-\alpha t=\ln(1-\alpha v)-\underbrace{\ln 1}_{0}$$ $$e^{-\alpha t}=1-\alpha v$$ $$v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)$$ | <wlatex>#: a) $$t=\left[-\frac{1}{\alpha}\ln\left(1-\alpha v'\right)\right]^{v}_{0}$$ $$-\alpha t=\ln(1-\alpha v)-\underbrace{\ln 1}_{0}$$ $$e^{-\alpha t}=1-\alpha v$$ $$v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)$$ | ||
A lap 2013. május 2., 13:47-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Integrálás |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
-
- a) Az alábbi határozott integrál a változó felső
határ miatt annak függvénye: és egyenlő a![\[I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t\]](/images/math/e/1/6/e1686d2cfc14de6e2c61b78269e28c51.png)
időváltozóval. Határozzuk meg a 
függvényt!
- b) Az alábbi határozott integrál a változó felső
határ miatt annak függvénye: Határozzuk meg az![\[\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)\]](/images/math/a/8/6/a8630fdeb67f60cd300a3863e7f7a404.png)
függvényt!
- c) Az alábbi határozott integrál a változó
határ miatt annak függvénye: Határozzuk meg a![\[I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t \]](/images/math/f/0/0/f004e1aa9fd212e19ab2e889020a96b2.png)
függvényt!
- a) Az alábbi határozott integrál a változó felső
Megoldás
- a)
![\[t=\left[-\frac{1}{\alpha}\ln\left(1-\alpha v'\right)\right]^{v}_{0}\]](/images/math/5/6/8/5687fa61857a90af53211f384fc75529.png)
![\[-\alpha t=\ln(1-\alpha v)-\underbrace{\ln 1}_{0}\]](/images/math/4/c/9/4c97f88a08c9dfe0c672cbe2db364b7d.png)
![\[e^{-\alpha t}=1-\alpha v\]](/images/math/e/f/3/ef304880344d5090029aa6bc97b0b554.png)
![\[v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)\]](/images/math/9/0/6/9063f1fc9d57397f0628dc346ccee6cf.png)
- b)
![\[\alpha t = \left[ - \frac{1}{ \omega '} \right]_ {\omega _0} ^{\omega } = \frac{1}{\omega _0}- \frac{1}{\omega }\]](/images/math/3/2/d/32d5f79c077d9e99baeeaac1bad73f8e.png)
![\[\frac{1}{ \omega } = \frac {1 }{\omega _0} - \alpha t = \frac { 1 - \omega _0 \alpha t }{\omega _0}\]](/images/math/3/0/2/302d544f1a1fa2576e19c4d26a269cd5.png)
![\[\omega (t) = \frac{ \omega _0}{1 - \omega _0 \alpha t}\]](/images/math/7/5/7/7572c6f68dccfaeadfa79c93fb8c0711.png)
- c)
![\[2\sqrt{h} - 2\sqrt{h _0} = - ct\]](/images/math/2/6/e/26e843e55313e19c05769e2ee9a912d3.png)
![\[\sqrt{h} = \sqrt{h _0} - \frac{ct}{2}\]](/images/math/5/7/d/57d612af7da7241d539124adb4f1d0c4.png)
![\[h(t) = h_0 + \frac {c^2 t^2 }{4} - c \sqrt { h_0 } \cdot t\]](/images/math/3/7/1/371d73f11c60e568794a87c605814941.png)
- a)
