„Kinematika - 1.4.23” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
|||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># Egy aknavetővel a völgyből $h$ magasságú fennsíkra tüzelnek. (1.4.23. ábra). A fennsíktól milyen távolságban kell felállítani az aknavetőt, hogy a lövedék a fennsík szélétől a legmesszebbre repüljön? Mekkora ez a távolság? Milyen szögben kell lőni? A lövedék kezdeti sebessége $v_{0}$. [[Kép:Kfgy1_03_1_4_23.svg|none|250px]] |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}$$ $$D=\frac{v_{0}^{2}}{g}-2h\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}$$ $$D=\frac{v_{0}^{2}}{g}-2h\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek. <br><br> Tehát olyan pályákat vizsgálunk, amelyek éppen a fennsík peremét érintik. Amikor a lövedék eléri a peremet, akkor a sebességének nagysága a kilövés szögétől és a kilövés helyétől függetlenül $v_{1}$ lesz, melyet az alábbi energetikai megfontolásból számolhatunk ki. $$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}=v_{0}\sqrt{1-\frac{2hg}{v_{0}^{2}}}$$ Mivel a lövedék sebességének nagysága adott, az a pálya az ideális, amelyen a lövedék sebessége a perem érintésének pillanatában éppen $45$ fokos szöget zár be a vízszintessel. Ekkor ugyanis a fennsíkon megtett $x$ irányú elmozdulás maximális. Ez a maximális elmozdulás $D=v_{1}^{2}/g$. Az a kérdés tehát, hogy honnan és milyen szög alatt kell lőni ahhoz, hogy a pálya a fennsík peremét érintse, és ebben a pillanatban a vízszintessel $45$ fokos szöget zár be a sebesség. | <wlatex>#: A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek. <br><br> Tehát olyan pályákat vizsgálunk, amelyek éppen a fennsík peremét érintik. Amikor a lövedék eléri a peremet, akkor a sebességének nagysága a kilövés szögétől és a kilövés helyétől függetlenül $v_{1}$ lesz, melyet az alábbi energetikai megfontolásból számolhatunk ki. $$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}=v_{0}\sqrt{1-\frac{2hg}{v_{0}^{2}}}$$ Mivel a lövedék sebességének nagysága adott, az a pálya az ideális, amelyen a lövedék sebessége a perem érintésének pillanatában éppen $45$ fokos szöget zár be a vízszintessel. Ekkor ugyanis a fennsíkon megtett $x$ irányú elmozdulás maximális. Ez a maximális elmozdulás $D=v_{1}^{2}/g$. Az a kérdés tehát, hogy honnan és milyen szög alatt kell lőni ahhoz, hogy a pálya a fennsík peremét érintse, és ebben a pillanatban a vízszintessel $45$ fokos szöget zár be a sebesség. | ||
A lap 2013. június 20., 12:06-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Egy aknavetővel a völgyből
magasságú fennsíkra tüzelnek. (1.4.23. ábra). A fennsíktól milyen távolságban kell felállítani az aknavetőt, hogy a lövedék a fennsík szélétől a legmesszebbre repüljön? Mekkora ez a távolság? Milyen szögben kell lőni? A lövedék kezdeti sebessége 
. 
Megoldás
- A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek.
Tehát olyan pályákat vizsgálunk, amelyek éppen a fennsík peremét érintik. Amikor a lövedék eléri a peremet, akkor a sebességének nagysága a kilövés szögétől és a kilövés helyétől függetlenül
lesz, melyet az alábbi energetikai megfontolásból számolhatunk ki. Mivel a lövedék sebességének nagysága adott, az a pálya az ideális, amelyen a lövedék sebessége a perem érintésének pillanatában éppen![\[\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}=v_{0}\sqrt{1-\frac{2hg}{v_{0}^{2}}}\]](/images/math/1/d/5/1d5afb4c6082f9f3d5710083c41c87f0.png)
fokos szöget zár be a vízszintessel. Ekkor ugyanis a fennsíkon megtett 
irányú elmozdulás maximális. Ez a maximális elmozdulás 
. Az a kérdés tehát, hogy honnan és milyen szög alatt kell lőni ahhoz, hogy a pálya a fennsík peremét érintse, és ebben a pillanatban a vízszintessel fokos szöget zár be a sebesség.
- A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek.
ÁBRA
Kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a mozgás során az irányú sebesség végig változatlan. Amikor a lövedék a fennsík pereménél van, akkor 
. Ennek azonban meg kell egyeznie a kilövés pillanatában mérhető irányú sebességgel 
. Ezek alapján ki lehet számolni azt a szöget, amely alatt a lövedéket ki kell lőni. ![\[\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}=v_{0}\cos\varphi\]](/images/math/8/5/b/85b663c95f7131cba71713eeb76293f9.png)
![\[\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}=\cos\varphi\qquad\Rightarrow\qquad \varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]](/images/math/f/7/2/f72cc09b2bc1c2d7f8473173940020a9.png)
Ahhoz, hogy meghatározzuk a kilövés helyét, ki kell számolnunk, hogy mennyi időbe (
) telik, amíg a lövedék a kilövés után eléri a fennsík peremét. Ehhez meg kell oldanunk a ![\[h=v_{0}\sin\varphi\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t^{2}\]](/images/math/c/3/d/c3df5756e396598319e390b3df23bccd.png)
távolságban becsapódik. Nekünk most az előbbire van szükségünk, mert ez alapján az aknavető távolsága a fennsík szélétől ![\[d=\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}\Delta t_{1}=\frac{v_{1}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-v_{1}\right]\]](/images/math/e/2/3/e23f62b160605bd4b25ec1fc84773fac.png)
Összefoglalva az eredményeket:
Ahhoz, hogy a lövedék a lehető legmesszebb csapódjon be a fennsíkon, az aknavetőt a fennsík szélétől
![\[d=\frac{\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}\right]\]](/images/math/e/3/f/e3f12fd85ac30eb0b3611a8680b4c3b8.png)
![\[\varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]](/images/math/c/b/3/cb3a2e723a373e2c2b55afd5e5011270.png)
![\[D=\frac{v_{0}^{2}}{g}-2h\,.\]](/images/math/6/4/9/64909bf4299497b17ab066ed1374ca88.png)
