„Kinematika - 1.2.17” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Feladat) |
(→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (1.2.17) | + | </noinclude><wlatex># (1.2.17, nehéz feladat csak csemegének) Egy $l_{0}$ hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva $v_{0}$ sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó $c>>v_{0}$ állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?) |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Egy általános $t$ időpontban határozzuk meg a fonál hosszát! Tegyük fel, hogy a hangya ekkor $x(t)$ helyen van. Írjuk fel ekkor a sebességet és a gyorsulást a külső megfigyelő rendszerében!}}{{Végeredmény|content=A hangya mindig utoléri a hangyát, és eléri a falat is.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
A lap 2013. szeptember 25., 13:59-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Mozgástan |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (1.2.17, nehéz feladat csak csemegének) Egy
hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva 
sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó 
állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)
Megoldás
- A fonál hosszúsága az idő függvényében mert a manó egyenletes sebességgel húzza.
![\[l(t)=l_{0}+ct\,,\]](/images/math/9/6/8/968b3380683a0affb17cd3665048531c.png)
Ha a hangya faltól mért távolságát
-vel jelöljük, akkor egy adott 
pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig![\[v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.\]](/images/math/c/8/b/c8becea84723576674d75f13efd91fc8.png)
, ezért a falhoz viszonyított sebesség ![\[v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)\]](/images/math/e/a/f/eaf6426ea2e8f309e69d747df7166f5f.png)
A kapott differenciálegyenletet az![\[x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.\]](/images/math/e/a/3/ea3416997072c79c22755fab2f88288a.png)
kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel).![\[x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)\]](/images/math/3/2/c/32caddfe9c290aec6deda9f46286f868.png)
A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti
távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük 
-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik. ![\[\Delta s(T)=0\]](/images/math/8/a/1/8a1b9831bd2f005c805c85d25d7a6d1c.png)
A hangya tehát minden esetben utoléri a manót.![\[T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)\]](/images/math/3/7/c/37cfaeb8c092366ecf4295d42c577f57.png)
Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége![\[v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.\]](/images/math/7/6/2/762d9c77fa786118fd6bd5a2e8c59fd7.png)
amelyet az![\[x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,\]](/images/math/1/1/b/11ba35045aab6b56ad0a4c290b446cfb.png)
kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan![\[x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]\]](/images/math/3/4/9/349f0b1a35ee4932064881385ea84bba.png)
, melyre ![\[x(T)=0\,.\]](/images/math/c/6/d/c6d6c42eb819695fa1e81b039819c2ae.png)
A hangya tehát minden esetben eléri a falat.
