„Integrálás - Vegyes integrálok” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
7. sor: 7. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># Határozzu meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!
+
</noinclude><wlatex># Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!
 
a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx$$
 
a) $$\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx$$
−
b) $$\int\frac{1}{x^{2}+3}dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=a) $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$
+
b) $$\int\frac{1}{x^{2}+3}dx$$</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=
 +
a) $\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C$
 
b) $\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
b) $\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==

A lap 2013. március 28., 14:18-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!
a)
\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]
b)
\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]

Megoldás

a)
\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]
b)
\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]
Mivel \setbox0\hbox{$\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált
\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx\]
bevezethetjük az \setbox0\hbox{$\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% azaz \setbox0\hbox{$x=\sqrt{3}y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből:
\[\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},\]
így az átírt integrál
\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C\]
visszahelyettesítés után végül:
\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Integrálás_-_Vegyes_integrálok&oldid=8112”