„Erőtan I. - 2.1.26” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
13. sor: | 13. sor: | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozzuk meg először azt az időpontot, amikor a test felemelkedik! A gyorsulás integrálásával határozzuk meg a sebesség, majd még egyszer integrálva a test helyzetének időfüggését}}{{Végeredmény|content= a) $$v(t_{e})=\frac{mg^{2}\cos\alpha}{2k\sin^{2}\alpha}$$ <br> b) $$x(t_{e})=\frac{m^{2}g^{3}\cos\alpha}{2k^{2}\sin^{3}\alpha}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Határozzuk meg először azt az időpontot, amikor a test felemelkedik! A gyorsulás integrálásával határozzuk meg a sebesség, majd még egyszer integrálva a test helyzetének időfüggését}}{{Végeredmény|content= a) $$v(t_{e})=\frac{mg^{2}\cos\alpha}{2k\sin^{2}\alpha}$$ <br> b) $$x(t_{e})=\frac{m^{2}g^{3}\cos\alpha}{2k^{2}\sin^{3}\alpha}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>#: a) A testre | + | <wlatex>#: a) A testre az $F(t)$ erőn kívül a függőleges irányú gravitációs és nyomóerők hatnak. Az általunk kifejtett erőt érdemes felbontani egy $F_{x}(t)=F(t)\cos\alpha$ nagyságú vízszintes és egy $F_{y}(t)=F(t)\sin\alpha$ nagyságú függőleges komponensre. Amíg a test el nem emelkedik, addig a függőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. $$N=mg-kt\sin\alpha$$ Ez egészen addig a $t_{e}$ pillanatig tart, amíg a nyomórerő zérussá nem válik. Ezután már nem tud megtörténni az erők kiegyenlítődése, hiszen a nyomóerő nem lehet negatív. $$0=mg-kt_{e}\sin\alpha\qquad\Rightarrow\qquad t_{e}=\frac{mg}{k\sin\alpha}$$ A vízszintes irányú mozgásegyenlet: $$ma(t)=kt\cos\alpha$$ Ez alapján a sebesség az idő függvényében $$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=\frac{k\cos\alpha}{2m}t^{2}$$ A felemelkedés pillanatában tehát $$v(t_{e})=\frac{mg^{2}\cos\alpha}{2k\sin^{2}\alpha}\,.$$ |
− | + | ||
− | Amíg a test el nem emelkedik, addig a függőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. $$N=mg-kt\sin\alpha$$ Ez egészen addig a $t_{e}$ pillanatig tart, amíg a nyomórerő zérussá nem válik. Ezután már nem tud megtörténni az erők kiegyenlítődése, hiszen a nyomóerő nem lehet negatív. $$0=mg-kt_{e}\sin\alpha\qquad\Rightarrow\qquad t_{e}=\frac{mg}{k\sin\alpha}$$ A vízszintes irányú mozgásegyenlet: $$ma(t)=kt\cos\alpha$$ Ez alapján a sebesség az idő függvényében $$v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=\frac{k\cos\alpha}{2m}t^{2}$$ A felemelkedés pillanatában tehát $$v(t_{e})=\frac{mg^{2}\cos\alpha}{2k\sin^{2}\alpha}\,.$$ | + | |
#: b) Az elmozdulás az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. $$x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=\frac{k\cos\alpha}{6m}t^{3}$$ Így a felemelkedésig megtett út $$x(t_{e})=\frac{m^{2}g^{3}\cos\alpha}{2k^{2}\sin^{3}\alpha}\,.$$ | #: b) Az elmozdulás az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. $$x(t)=x(0)+\int_{0}^{t}v(t')dt'=\frac{k\cos\alpha}{6m}t^{3}$$ Így a felemelkedésig megtett út $$x(t_{e})=\frac{m^{2}g^{3}\cos\alpha}{2k^{2}\sin^{3}\alpha}\,.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 22., 17:54-kori változata
Feladat
- Sima, vízszintes síkon levő kis méretű testre törvény szerint változó erő hat úgy, hogy iránya a vízszintessel szöget zár be. A test és a sík közti súrlódástól eltekintünk. Határozza meg
- a) a test sebességét abban a pillanatban, amikor a test kezd felemelkedni,
- b) a felemelkedés kezdetéig befutott utat! ( és )
Megoldás
- a) A testre az erőn kívül a függőleges irányú gravitációs és nyomóerők hatnak. Az általunk kifejtett erőt érdemes felbontani egy nagyságú vízszintes és egy nagyságú függőleges komponensre. Amíg a test el nem emelkedik, addig a függőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást. Ez egészen addig a pillanatig tart, amíg a nyomórerő zérussá nem válik. Ezután már nem tud megtörténni az erők kiegyenlítődése, hiszen a nyomóerő nem lehet negatív. A vízszintes irányú mozgásegyenlet: Ez alapján a sebesség az idő függvényében A felemelkedés pillanatában tehát
- b) Az elmozdulás az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki. Így a felemelkedésig megtett út