Kinematika - 1.4.7

Feladat

1. Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$A=1 m/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , $\setbox0\hbox{$B=2,5 m/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , $\setbox0\hbox{$\omega=1/s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\varphi=60^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a $\setbox0\hbox{$t=0\,s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a test az $\setbox0\hbox{$\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontban tartózkodott, ahol $\setbox0\hbox{$x_{0}=2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y_{0}=3m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

   b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!

   c) Milyen pályán mozog a test?

Megoldás

1. a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.

   $\[\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}\]$

   b) A gyorsulásvektor

   $\[\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.\]$

   c) A test egy ellipszis pályán mozog.