Kinematika - 1.4.7

Feladat

1. (*1.4.7 alapján) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a $\setbox0\hbox{$t=0\,s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a test az $\setbox0\hbox{$\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontban tartózkodott!

   b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!

   c) Milyen pályán mozog a test, ha $\setbox0\hbox{$\varphi=n\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valamilyen $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egész számmal?

   d) Amennyiben $\setbox0\hbox{$\varphi = \pi / 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, úgy adjuk meg a pálya görbületi sugarát a $\setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időponthoz tartozó helyen.

Megoldás

1. a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.

   $\[\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}\]$

   b) A gyorsulásvektor

   $\[\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.\]$

   c) Vezessük be az $\setbox0\hbox{$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyvektor komponensei helyett az

   $\[X(t)=x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\]$

   változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolásnak felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján

   $\[X(t)=-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\frac{B}{\omega}\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.\]$

   Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $\setbox0\hbox{$X(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$Y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hordozzák.

   $\[\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2-2\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)\cos\varphi+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=\sin^{2}\varphi\]$

   Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. A feladatban csak a $\setbox0\hbox{$\varphi=n\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eseteket kell vizsgálni, ahol $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy egész szám. Ha $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ páros, akkor $\setbox0\hbox{$\sin\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\cos\varphi=(-1)^n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vagyis a pálya egyenlete

   $\[X^2-2XY+Y^2=0\qquad\mbox{vagy}\qquad X^2+2XY+Y^2=0\]$

   alakban írható. Tovább alakítva

   $\[X=Y\qquad\mbox{vagy}\qquad X=-Y\]$

   egyenletet kapunk, vagyis a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le.
   Ha $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ páratlan, akkor $\setbox0\hbox{$\cos\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sin\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$\pm 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeket veheti fel, mindkét esetben $\setbox0\hbox{$\sin^{2}\varphi=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A pálya egyenlete ekkor

   $\[\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=1\]$

   alakban írható. Amennyiben $\setbox0\hbox{$A=B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az egyenlet egy körmozgást ír le. Egyéb esetekben a test egy ellipszis pályán mozog.

   d) Ha $\setbox0\hbox{$\varphi = \pi / 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, úgy a kezdeti sebességvektor $\setbox0\hbox{$\vec{v}(0) = B \vec{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a kezdeti gyorsulásvektor pedig $\setbox0\hbox{$\vec{a}(0) = A \omega \vec{i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezek láthatóan merőlegesek egymásra, így a görbületi sugarat nagyon egyszerűen meg tudjuk adni:

   $\[R = \frac{v^2}{|a|} = \frac{B^2}{A \omega}\]$