Kinematika - 1.4.17

Feladat

1. (*1.4.17) Egy gőzgép hajtókereke egyenletes $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog az $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középpontján átmenő tengely körül. A kerék $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú hajtórúdjának $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csuklópontja az $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban van, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. Mekkora az $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége abban a pillanatban, amikor $\setbox0\hbox{$ON$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vízszintessel $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be? ($\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.)
   

Megoldás

1. Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csuklópont az $\setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenesre illeszkedik, vagyis amikor $\setbox0\hbox{$\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$\varphi(t)=\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az $\setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakasz hosszát jelöljük $\setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel. Ha $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a koordinátarendszer origója, akkor $\setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyben $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont tisztán $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely menti mozgását is leírja ($\setbox0\hbox{$y(t)\equiv 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Az $\setbox0\hbox{$NOM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ háromszögre cosinus-tételt alkalmazva

   $\[l^{2}=r^{2}+x(t)^{2}-2rx(t)\cos(\varphi(t))\]$

   adódik. Ebből a másodfokú egyenletből

   $\[x(t)=r\cos(\omega t)+\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}\]$

   eredményre jutunk. Az $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége

   $\[v(t)=\frac{dx}{dt}=-r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.\]$

   Elkerülhető a másodfokú egyenlet, ha az $\setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re merőleges magassággal két derékszögú háromszögre osztjuk az $\setbox0\hbox{$ONM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ háromszöget.