Integrálás - Vegyes integrálok

Feladat

1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!

   a)

   $\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]$

   b)

   $\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx\]$

Megoldás

1. a)

   $\[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx=\frac{e^{2x}}{4}-\frac{x}{2}+C\]$

   b)

   $\[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]$

   Mivel $\setbox0\hbox{$\left(\mbox{arctg} x\right)'=\frac{1}{x^{2}+1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hasonló megoldást várunk. Az egyetlen eltérés ehhez képest a nevezőben a 3-as.Átalakítva az integrált

   $\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{\frac{x^{2}}{3}+1}dx\]$

   bevezethetjük az $\setbox0\hbox{$\frac{x^{2}}{3}=\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2}=y^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azaz $\setbox0\hbox{$x=\sqrt{3}y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyettesítést. Ebből a transzformációs képletből:

   $\[\frac{dx}{dy}=\sqrt{3},\]$

   így az átírt integrál

   $\[\frac{1}{3}\int\frac{1}{y^{2}+1}\sqrt{3}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\,y+C\]$

   visszahelyettesítés után végül:

   $\[\frac{1}{\sqrt{3}}\mbox{arctg}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C\]$

   c)

   $\[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos^{2} x\right)\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\sin x\,dx=\]$

$\[\left[-\cos x\right]^{\pi}_{0}+\left[\frac{\cos^{3} x}{3}\right]^{\pi}_{0}=\frac{4}{3}\]$