Deriválás - Egyszerű deriváltak

Feladat

1. Határozzuk meg az alábbi függvények els\H o deriváltját! Az f) feladatrészben a második deriváltat is számoljuk ki!

   a) $\setbox0\hbox{$f(x)=x^{2}+3x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   b) $\setbox0\hbox{$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   c) $\setbox0\hbox{$A(\omega)=\frac{\omega}{1+(\tau\omega)^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   d) $\setbox0\hbox{$h(x)=\sin\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   e) $\setbox0\hbox{$g(x)=\ln\left(e^{\sin x}+x\right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   f) $\setbox0\hbox{$y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

Megoldás

1. a)

   $\[\frac{df}{dx}=2x+3\]$

   b)

   $\[\frac{dx}{dt}=-x_{0}\omega\sin(\omega t)\]$

   c)

   $\[\frac{dA}{d\omega}=\frac{1+(\tau\omega)^{2}-\omega\cdot 2\tau^{2}\omega}{\left(1+(\tau\omega)^{2}\right)^{2}}=\frac{1-(\tau\omega)^{2}}{\left(1+(\tau\omega)^{2}\right)^{2}}\]$

   d)

   $\[\frac{dh}{dx}=\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\cdot\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]=\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\frac{1}{\cos(3x)}\cdot\frac{d}{dx}\cos(3x)=\]$

   $\[=-3\,\mbox{tg}\,(3x)\cos\left[\ln\left(\cos(3x)\right)\right]\]$

   e)

   $\[\frac{dg}{dx}=\frac{e^{\sin x}\cos x+1}{e^{\sin x}+x}\]$

   f)

   $\[\dot{y}=\frac{dy}{dt}=-Ae^{-\lambda t}\left[\lambda\cos(\omega t-\varphi)+\omega\sin(\omega t-\varphi)\right]\]$

   $\[\ddot{y}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=Ae^{-\lambda t}\left[(\lambda^{2}-\omega^{2})\cos(\omega t-\varphi)+2\lambda\omega\sin(\omega t-\varphi)\right]\]$

   Könnyen belátható, hogy

   $\[\ddot{y}+2\lambda\dot{y}+(\omega^{2}+\lambda^{2})y=0\,.\]$