Integrálás - Időfüggvények

Feladat

1. a) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t\]$

   és egyenlő a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időváltozóval. Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

   b) Az alábbi határozott integrál a változó felső $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)\]$

   Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

   c) Az alábbi határozott integrál a változó $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határ miatt annak függvénye:

   $\[I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t \]$

   Határozzuk meg a $\setbox0\hbox{$h(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

Megoldás

1. a)

   $\[t=\left[-\frac{1}{\alpha}\ln\left(1-\alpha v'\right)\right]^{v}_{0}\]$

   $\[-\alpha t=\ln(1-\alpha v)-\underbrace{\ln 1}_{0}\]$

   $\[e^{-\alpha t}=1-\alpha v\]$

   $\[v(t)=\frac{1}{\alpha}\left(1-e^{-\alpha t}\right)\]$

   b)

   $\[\alpha t = \left[ - \frac{1}{ \omega '} \right]_ {\omega _0} ^{\omega } = \frac{1}{\omega _0}- \frac{1}{\omega }\]$

   $\[\frac{1}{ \omega } = \frac {1 }{\omega _0} - \alpha t = \frac { 1 - \omega _0 \alpha t }{\omega _0}\]$

   $\[\omega (t) = \frac{ \omega _0}{1 - \omega _0 \alpha t}\]$

   c)

   $\[2\sqrt{h} - 2\sqrt{h _0} = - ct\]$

   $\[\sqrt{h} = \sqrt{h _0} - \frac{ct}{2}\]$

   $\[h(t) = h_0 + \frac {c^2 t^2 }{4} - c \sqrt { h_0 } \cdot t\]$