Erőtan I. - 2.1.4

Feladat

1. Egy autót $\setbox0\hbox{$4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással indítanak. A vezető az 5. másodperc végén akadályt pillant meg és $\setbox0\hbox{$1 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ telik el a fékezés megkezdéséig. Hány métert halad az autó az akadály megpillantása után, ha a fék a kerekeket teljesen lefékezi? Mennyit haladt volna, ha a vezető azonnal fékez? A lefékezett autó és az úttest közötti súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. Ha $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideig gyorsult az autó egyenletes $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással, akkor a gyorsulás után a sebessége $\setbox0\hbox{$v=at$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezután kezdődik meg a fékezés, melynek során a függőleges irányú gravitációs és nyomóerő mellett egy vízszintes irányú súrlódási erő is megjelenik. Függőleges irányban az autó egyensúlyban van, ezért $\setbox0\hbox{$N=F_{g}=mg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Vízszintes irányban van gyarsulása az autónak, melyet $\setbox0\hbox{$m a_{f}=S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határoz meg. A súrlódási erőt $\setbox0\hbox{$S=\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint számolhatjuk ki. Ezek alapján $\setbox0\hbox{$a_{f}=\mu g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   A megálláshoz szükséges idő $\setbox0\hbox{$t_{f}=\frac{v}{a_{f}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az ezalatt megtett út pedig

   $\[s=\frac{a_{f}}{2}t_{f}^{2}=\frac{a^{2}}{2\mu g}t^{2}\]$

   A feladat első kérdése arra vonatkozik, amikor az autó az akadály megpillantása előtti $\setbox0\hbox{$t_{0}=5\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időtartam után még $\setbox0\hbox{$\Delta t=1\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideig gyorsult. Ekkor fékezéstől a megállásig

   $\[s_{u}=\frac{a^{2}}{2\mu g}(t_{0}+\Delta t)^{2}=57,6\,\mathrm{m}\]$

   utat tesz meg. A fékezés előtti $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt pedig

   $\[s_{e}=\frac{a}{2}\left((t_{0}+\Delta t)^{2}-t_{0}^{2}\right)=22\,\mathrm{m}\]$

   utat tett meg. Így összesen az első esetben az autó $\setbox0\hbox{$79,6\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tesz meg az akadály megpillantásától a teljes megállásig.
   A másik esetben csak $\setbox0\hbox{$t_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideig gyorsul az autó, és rögtön megkezdődik a fékezés. Ekkor

   $\[s'=\frac{a^{2}}{2\mu g}t_{0}^{2}=40 \,\mathrm{m}\]$

   utat tesz meg az autó.