Erőtan I. - 2.1.30

Feladat

1. Megrakott $\setbox0\hbox{$m_{1}=420\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű csille $\setbox0\hbox{$\alpha=8$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$°-os lejtős pályán lefelé indul. Rakománya $\setbox0\hbox{$m_{2}=560\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A pályán a súrlódási tényező $\setbox0\hbox{$\mu=0,08$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a gyorsulása?

   b) Mekkora a sebessége $\setbox0\hbox{$s_{1}=600\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ út befutása után?

   c) Hány $\setbox0\hbox{$\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú út befutása után kell megkezdeni a fékezést, ha azt akarjuk, hogy a kocsi $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál jobban ne gyorsuljon fel?

   d) Mekkora fékezőerőt kell alkalmazni a $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó sebesség fenntartására?

   e) Mennyi idő alatt fut le a kocsi a lejtőn, ha annak hossza $\setbox0\hbox{$s_{2}=900\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és a $\setbox0\hbox{$v_{3}=6\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elérése után ezzel az állandó sebességgel halad tovább?

Megoldás

1. A kocsi és a rakomány a teljes mozgás során együtthalad, ezért csak a közös tömeggel kell számolni: $\setbox0\hbox{$m=m_{1}+m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) A kocsira ható erőket láthatjuk az ábrán. A gravitációs erőt felbontjuk a lejtőre merőleges és lejtővel párhuzamos komponensekre.

A lejtőre merőleges irányban a kocsi nem mozdul el, ezért $\setbox0\hbox{$N=mg\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A lejtővel párhuzamos irányban

$\[ma=F_{g}\sin\alpha-S=mg\sin\alpha-\mu N=mg\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)\]$

vagyis a gyorsulás

$\[a=g\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)=0,59\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\,.\]$

1. b) Az $\setbox0\hbox{$s_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ utat $\setbox0\hbox{$t_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt teszi meg, melyre

   $\[s_{1}=\frac{a}{2}t_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad t_{1}=\sqrt{\frac{2s_{1}}{a}}\,.\]$

   A sebesség az út végén

   $\[v_{1}=at_{1}=\sqrt{2s_{1}a}=26,6\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$

   c) Ugyanezt az összefüggést használva

   $\[s_{3}=\frac{v_{3}^{2}}{2a}=30,5\,\mathrm{m}\]$

   úton nő a sebesség $\setbox0\hbox{$v_{3}-ra$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   d) Az $\setbox0\hbox{$s_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ út után rögtön el kell kezdeni fékezni, méghozzá

   $\[F=ma=578,2 \,\mathrm{N}\]$

   fékezőerővel.

   e) A fékezésig $\setbox0\hbox{$t_{3}=\frac{v_{3}}{a}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő telik el. A fékezés után egyenletes mozgással még

   $\[\Delta t=\frac{s_{2}-s_{3}}{v_{3}}\]$

   halad a lejtőn. Tehát összesen

   $\[T=t_{3}+\Delta t=\frac{s_{2}}{v_{3}}+\frac{v_{3}}{2a}=155,1\,\mathrm{s}\]$

   idő alatt fut le a lejtőről.