Integrálás - Forgástest

Feladat

1. Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen $\setbox0\hbox{$h = 0.1 \, m \, ,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tányér sugara pedig $\setbox0\hbox{$R = 0.5 \, m \, .$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

   a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban?

   b) Mekkora a tányér (belső) felülete?

Megoldás

1. a) A parabola-tányér egy forgástest. Legyen a szimmetriatengely az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely, a tányért úgy nyerjük, ha az $\setbox0\hbox{$y = a \sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt megforgatjuk az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely körül. Az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ paramétert még meg kell határoznunk. Tudjuk, hogy az $\setbox0\hbox{$x = h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságnál a tányér sugara $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

   $\[a \sqrt{h} = R \quad \Rightarrow \quad a = \frac{R}{\sqrt{h}} \, .\]$

   Tehát az $\setbox0\hbox{$y(x) = \frac{R}{\sqrt{h}} \sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt kell megforgatnunk. A tányér térfogata:

   $\[ V = \int_{0}^{h} y(x)^2 \pi \,dx = \frac{R^2 \pi}{h} \int_0^h x \, dx = \frac{R^2 \pi}{h} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^h = \frac{R^2 h \pi}{2} = 0.0393 m^3\]$

   b) A tányér felszínét az alábbi integrállal tudjuk meghatározni:

   $\[ S = \int_0^h 2 \pi y(x) \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \int_0^h \sqrt{x + \frac{R^2}{4 h}} \, dx = \]$

   $\[ = \frac{2 \pi R}{\sqrt{h}} \left[ \frac{2}{3} \left( x + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right]_0^h = \frac{4 \pi R}{3 \sqrt{h}} \left[ \left( h + \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} - \left( \frac{R^2}{4 h} \right)^{3/2} \right] = 0.816 m^2 \]$