Kinematika - 1.4.10

Feladat

1. Folyóvízben három tutaj van lehorgonyozva. $\setbox0\hbox{$T_{1}T_{3}=T_{2}T_{3}=l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , irányuk egymásra merőleges. A víz $\setbox0\hbox{$T_{1}T_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányában folyik $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel. Két gyorsúszó azonos, a vízhez képest $\setbox0\hbox{$c>v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel a $\setbox0\hbox{$T_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tutajról egyszerre indulnak, az egyik a $\setbox0\hbox{$T_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a másik a $\setbox0\hbox{$T_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felé, ezeket megérintve visszatérnek $\setbox0\hbox{$T_{3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-hoz. Melyik ér vissza előbb, és mennyivel késik a másik?
   

Megoldás

1. A $\setbox0\hbox{$T_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tutajról induló úszót odafelé segíti a víz, visszafelé viszont hátráltatja. A visszaéréshez szükséges idő

   $\[t_{13}=\frac{l}{c+v}+\frac{l}{c-v}\]$

   szerint számítható ki. A $\setbox0\hbox{$T_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tutajról induló úszónak az odaúthoz szükséges idő

   $\[t_{23,oda}=\frac{l}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\,,\]$

   a visszafelé úthoz ugyanennyi időre van szüksége, így

   $\[t_{23}=\frac{2l}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\,.\]$

   A két időt összevetve azt találjuk, hogy

   $\[t_{13}<t_{23}\,,\]$

   vagyis a $\setbox0\hbox{$T_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tutajról induló úszó hamarabb ér vissza a saját tutajára. Az idők közti különbség

   $\[\Delta t=t_{23}-t_{13}=\frac{2l}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\left[1-\frac{c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}} \right]\,.\]$