Erőtan I. - 2.1.16

Feladat

1. (2.1.16) Egy asztalon $\setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű deszka, a deszkán $\setbox0\hbox{$m'=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teher fekszik. Mekkora vízszintes irányú $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel kell hatni a deszkára, hogy az a teher alól kicsússzon? A teher és a deszka közötti tapadási-súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu'=0,25$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , a deszka és az asztal közötti tapadási-súrlódási együttható pedig $\setbox0\hbox{$\mu=0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. Először vizsgáljuk meg, hogy mekkora az a maximális erő, melyre még éppen a deszka sem és a teher sem mozdulnak meg. A megoldás során a deszkára ható erők vessző nélküliek, míg a teherre ható erőket vesszővel jelöljük.
   
   A teherre vonatkozó mozgásegyenletek

   $\[\mbox{függőleges}\qquad N'=F_{g}'=m'g\,.\]$

   A deszkára vonatkozó mozgásegyenletek

   $\[\mbox{függőleges}\qquad N=F_{g}+G\qquad\qquad\mbox{vízszintes}\qquad F=T\,.\]$

   Newton III. törvénye miatt $\setbox0\hbox{$N'=G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így $\setbox0\hbox{$N=(m+m')g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tapadási erő az alábbi összefüggésben van a nyomóerővel.

   $\[\mu N\geq T\]$

   $\[\mu(m+m')g\geq F\]$

   Tehát ha az erő kisebb, mint $\setbox0\hbox{$F_{min}=\mu(m+m')g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor se a deszka, se a teher nem mozdulnak meg. Nagyobb erők esetén azonban már a deszka elkezd csúszni az asztalon.
   
   Tegyük fel egyelőre, hogy a teher még nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. A testekre vonatkozó függőleges irányú mozgásegyenletek megegyeznek a korábbiakkal, a vízszintes irányúak azonban

   $\[m'a=T'\]$

   $\[ma=F-T'-S\]$

   szerint írhatóak fel, ahol $\setbox0\hbox{$S=\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A gyorsulás az elsőegyenlet alapján $\setbox0\hbox{$a=T'/m'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel behelyettesítve a második egyenletbe

   $\[T'\frac{m}{m'}=F-T'-\mu(m+m')g\qquad\Rightarrow\qquad T'=\frac{Fm'}{m+m'}-\mu m'g\]$

   a tapadási erő kifejezhető, amely a deszka és a teher közti nyomóerővel az alábbi kapcsolatban van.

   $\[T'\leq\mu'N'\]$

   $\[F\leq(m+m')(\mu+\mu')g\]$

   Tehát ha a húzóerő kisebb, mint $\setbox0\hbox{$F_{\mathrm{min}2}=(m+m')(\mu+\mu')g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor a teher nem csúszik meg a deszkán, hanem együtt gyorsul azzal. Az eddig meghatározott két erőre fennáll az $\setbox0\hbox{$F_{\mathrm{min}}<F_{\mathrm{min}2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés, ezért ténylegesen lehetséges az imént bemutatott szituáció. Azonban ha a húzóerő nagyobb $\setbox0\hbox{$F_{\mathrm{min}2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél, akkor a deszka kicsúszik a teher alól.

   $\[F_{\mathrm{min}2}=22,5\,\mathrm{N}\]$