Kinematika - 1.4.6

Feladat

1. (1.4.6) Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: $\setbox0\hbox{$x=at^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: $\setbox0\hbox{$a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$b=4 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

1. A tömegpont $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az $\setbox0\hbox{$xz$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-síkban halad. Az $\setbox0\hbox{$x=at^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját
   $\[z=b-\frac{c}{a}x\,,\]$
   amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki.
   $\[v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at\]$
   $\[v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0\]$
   $\[v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct\]$
   A gyorsulás pedig
   $\[a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a\]$
   $\[a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0\]$
   $\[a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c\]$
   
   Az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tengelynél a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tengelyt, vagyis mikor lesz $\setbox0\hbox{$z=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   $\[z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s\]$