Erőtan I. - 2.4.7

Feladat

1. (2.4.7) Egy $\setbox0\hbox{$D=29,43\,\mathrm{\frac{N}{m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rugalmassági állandójú, $\setbox0\hbox{$l_{0}=30\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyugalmi hosszúságú felfüggesztett rugó végére egy $\setbox0\hbox{$m=0,1 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű golyót helyezünk. A golyó állandó nagyságú sebességgel vízszintes kört ír le, miközben a rugó tengelye a függőlegessel $\setbox0\hbox{$45$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$°-os szöget zár be. Mekkora a rugó megnyúlása és a golyó sebességének nagysága?

Megoldás

1. A golyóra ható erőket az ábrán láthatjuk.

Az eredő erő megegyezik a centripetális erővel, ezért

$\[K\cos\alpha=mg\]$

$\[K\sin\alpha=m\frac{v^{2}}{r}\]$

A kötélerő $\setbox0\hbox{$K=D\Delta l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amelyből kifejezhető a megnyúlás és az első egyenlet alapján

$\[\Delta l=\frac{mg}{D\cos\alpha}=4,71\,\mathrm{cm}\]$

A golyó által befutott kör sugara $\setbox0\hbox{$r=(l_{0}+\Delta l)\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Így a második egyenlet alapján

$\[v=\sqrt{(l_{0}+\Delta l)g\sin\alpha\,\mbox{tg}\,\alpha}=1,55\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$