Kinematika - 1.4.7

Feladat

1. (1.4.7) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: $\setbox0\hbox{$\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a $\setbox0\hbox{$t=0\,s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a test az $\setbox0\hbox{$\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájú pontban tartózkodott!

   b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!

   c) Milyen pályán mozog a test?

Megoldás

1. a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.

   $\[\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}\]$

   b) A gyorsulásvektor

   $\[\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.\]$

   c) Vezessük be az $\setbox0\hbox{$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyvektor komponensei helyett az

   $\[X(t)=\frac{\omega}{A}\left(x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\right)\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=\frac{\omega}{B}\left(y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\right)\]$

   változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolás és egy nyújtás kombinációjának felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján

   $\[X(t)=-\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.\]$

   Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $\setbox0\hbox{$X(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$Y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hordozzák.

   $\[X(t)^2-2X(t)Y(t)\cos\varphi+Y(t)^{2}=\sin^{2}\varphi\]$

   Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. Hogy pontosabban lássuk, hogy milyen pályáról van szó, vezesük be az

   $\[U(t)=\frac{X(t)+Y(t)}{\sqrt{2}} \qquad \mbox{és} \qquad V(t)=\frac{X(t)-Y(t)}{\sqrt{2}}\]$

   változókat! Ez a transzformáció egy 45 fokos forgatásnak felel meg. Az új változókkal az

   $\[U(t)^2(1-\cos\varphi)+V(t)^{2}(1+\cos\varphi)=\sin^{2}\varphi\]$

   egyenletre jutunk. Érdemes megvizsgálni az egyenletet különböző $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékek esetén. Ha $\setbox0\hbox{$\sin\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (ez lehetséges $\setbox0\hbox{$\varphi=n\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén, ahol $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tetszőleges egész szám), akkor a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. Ha $\setbox0\hbox{$\cos\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (ez lehetséges $\setbox0\hbox{$\varphi=n\pi+\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén), akkor a pálya egyenlete egy körmozgást ír le. A visszatranszformálás során azonban a valódi térbeli mozgásra csak akkor kapunk körmozgást, ha $\setbox0\hbox{$A=B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Minden egyéb esetben a test pályája egy ellipszis.