Kinematika - 1.3.8

Feladat

1. (*1.3.8.) Egy részecske a pozitív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: $\setbox0\hbox{$v=D\sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg

   a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől!

   b) a részecske átlagsebességét, míg az $\setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontból az $\setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontba jut!

Megoldás

1. a) A $\setbox0\hbox{$v(t)=dx/dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés alapján az $\setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényre vonatkozó differenciál egyenlet

   $\[\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}\]$

   alakban írható. A kezdeti feltétel $\setbox0\hbox{$x(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   $\[\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D\]$

   $\[\frac{d}{dt}\left(2\sqrt{x}\right)=D\]$

   $\[2\sqrt{x}=Dt+C\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük.

   $\[x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}\]$

   A kezdeti feltétel miatt $\setbox0\hbox{$c=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, vagyis

   $\[x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.\]$

   Ez alapján

   $\[v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.\]$

   b) Jelöljük $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az $\setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban van.

   $\[x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}\]$

   Így az átlag sebesség

   $\[v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.\]$